{"id":2579,"date":"2022-08-28T04:52:50","date_gmt":"2022-08-28T04:52:50","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2579"},"modified":"2022-08-28T04:52:50","modified_gmt":"2022-08-28T04:52:50","slug":"solucion-a-ecuacion-diofantica-2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2022\/08\/28\/solucion-a-ecuacion-diofantica-2\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a ecuaci\u00f3n diof\u00e1ntica"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 9 del concurso Marat\u00f3 de problemes 2022\r\nSe dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os<\/pre>\n<p>\u00bfCu\u00e1ntas soluciones diferentes tiene la ecuaci\u00f3n 9x + 2y + 3z = 59, en la que x, y, z son n\u00fameros enteros positivos?<\/p>\n<p>\u00bfCu\u00e1l es el mayor valor que toma x + y + z para alguna de estas soluciones?<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-2575\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2022\/08\/259.diofanto.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2022\/08\/259.diofanto.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2022\/08\/259.diofanto-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nVamos a estudiar los valores que pueden verificar  9x + 2y + 3z = 59. Puesto que x, y, z deben ser mayores o iguales que 1, 9x + 2y + 3z debe valer al menos 14, y la diferencia entre 14 y 59 es 45.<\/p>\n<p>\u00bfC\u00f3mo podemos obtener 45 unidades sumando un m\u00faltiplo de 9, uno de 2 y uno de 5?<br \/>\nVeamos. 45 es 9\u00b75, as\u00ed que una soluci\u00f3n podr\u00eda ser (6, 1, 1).<\/p>\n<p>Si x vale 5 (es decir, faltan 45 \u2013 9\u00b74 = 9) podemos obtener los 9 que faltan de dos formas, como 3\u00b73 y como 2\u00b73 + 3\u00b71, lo que nos aporta dos soluciones nuevas, (5, 1, 4) y (5, 4, 2).<\/p>\n<p>Si la x vale 4 (nos faltan con las otras dos 45 \u2013 9\u00b73 = 18) podemos obtener los 18 de las formas siguientes: 3\u00b76, 2\u00b73 + 3\u00b74, 2\u00b76 + 3\u00b72 y 2\u00b79, un total de 4 formas, que nos dar\u00eda estas 4 soluciones: (4, 1, 7), (4, 4, 5), (4, 7, 3) y (4, 10, 1).<\/p>\n<p>Si la x vale 3 (faltan entonces 27), podemos lograr esos 27 de las siguientes formas: 3\u00b79, 2\u00b73 + 3\u00b77, 2\u00b76 + 3\u00b75, 2\u00b79 + 3\u00b73, y 2\u00b712 + 3\u00b71, 5 formas (observa que en cada una le \u201cquitas\u201d 2 a la z y le \u201ca\u00f1ades\u201d 3 a la y para compensar). Representa las soluciones (3, 1, 10), (3, 4, 8), (3, 7, 6), (3, 10, 4), (3, 13, 2).<\/p>\n<p>Repitiendo el proceso para una x de 2, tenemos los puntos (2, 1, 13), (2, 4, 11), (2, 7, 9), (2, 10, 7), (2, 13, 5), (2, 16, 3) y (2, 19, 1).<\/p>\n<p>Por \u00faltimo, para un valor x de 1, tendr\u00edamos (1, 1, 16), (1, 4, 14), (1, 7, 12), (1, 10, 10), (1, 13, 8), (1, 16, 6), (1, 19, 4) y (1, 22, 2).<\/p>\n<p>Ahora, podemos comprobar entre todos ellos cu\u00e1l es el que mejor suma x + y + z tiene, pero tambi\u00e9n podemos deducir que el que m\u00e1s importancia va a tener es la y, ya que para conseguir el 59 es el que tiene el factor m\u00e1s bajo. Por tanto, el valor m\u00e1s alto se va a dar en 1 + 22 + 2 = 25, ya que los siguientes ser\u00edan 1 + 19 + 4 = 24, 1 + 16 + 6 = 23 y 2 + 19 + 1 = 22.<\/p>\n<p>Nos podemos fijar en que un valor m\u00e1s alto de x siempre podemos cambiarlo por 3 unidades m\u00e1s de z, y cada 2 unidades de z podemos cambiarlas por 3 de y, que suman m\u00e1s.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 9 del concurso Marat\u00f3 de problemes 2022 Se dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os \u00bfCu\u00e1ntas soluciones diferentes tiene la ecuaci\u00f3n 9x + 2y + 3z = 59, en la que x, y, z son n\u00fameros enteros positivos? \u00bfCu\u00e1l es el mayor valor que toma x + y + z para alguna de estas [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2242026,1738,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-2579","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-marato-de-problemes","category-olimpiadas","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2579","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2579"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2579\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2580,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2579\/revisions\/2580"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2579"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2579"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2579"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}