{"id":258,"date":"2017-11-12T10:56:47","date_gmt":"2017-11-12T10:56:47","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=258"},"modified":"2017-11-15T13:40:58","modified_gmt":"2017-11-15T13:40:58","slug":"buscando-divisiones-s","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2017\/11\/12\/buscando-divisiones-s\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a buscando divisiones"},"content":{"rendered":"<pre>Concurso AIME 2016 (Examen Matem\u00e1tico Invitacional Americano)\r\nSe dirige a una edad de: 15-16 a\u00f1os<\/pre>\n<p>En esta competici\u00f3n se invita a las personas que han tenido cierto \u00e9xito en el AMC 10 o AMC 12, consta de 15 preguntas para 3 horas, y la respuesta siempre es un n\u00famero entre 000 y 999.<\/p>\n<p>Cuando dividimos los n\u00fameros 702, 787 y 855 entre el mismo n\u00famero entero positivo m, obtenemos el mismo resto r.<\/p>\n<p>Cuando dividimos los n\u00fameros 412, 722 y 815 entre el entero positivo n, el resto siempre es s, distinto de r.<\/p>\n<p>Encuentra m + n + r + s.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-243\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2017\/11\/18.buscandodivisiones.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2017\/11\/18.buscandodivisiones.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2017\/11\/18.buscandodivisiones-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/p>\n<p>Soluci\u00f3n:<!--more--><\/p>\n<p>En este problema tenemos que preguntarnos qu\u00e9 significa realmente el resto. Establecemos que 702, 787 y 855 tienen el mismo resto al dividirlos por un cierto n\u00famero entero, y lo mismo pasa con 412, 722 y 815, aunque sea con otro valor.<\/p>\n<p>Podemos interpretar que 702 = am + r, 787 = bm + r y 855 = cm + r. Si restamos las igualdades dos a dos, eliminaremos r, de forma que s\u00f3lo depender\u00e1 de m el resultado.<\/p>\n<p>As\u00ed, 787 \u2013 702 = (b \u2013 a)m, y 855 \u2013 787 = (c \u2013 b)m, pero eso significa que 85 =(b \u2013 a)m y 68 = (c \u2013 b)m, pero eso significa que 85 y 68 tienen un divisor com\u00fan m, que s\u00f3lo puede ser 17.<\/p>\n<p>No tiene mucho sentido que sea 1, porque entonces los restos ser\u00edan 0, y eso pasar\u00eda con cualquier n\u00famero.<\/p>\n<p>De la misma forma, 722 \u2013 412 = sn y 815 \u2013 722 = tn, de donde buscamos n entre los divisores comunes de 310 y 93, y de nuevo s\u00f3lo puede ser 31.<\/p>\n<p>Dividiendo cualquiera de los tres n\u00fameros iniciales entre 17, por ejemplo, el menor de ellos, obtenemos el resto r, que vale 5 (702 = 41\u00b717 + 5). Con uno de los otros tres, entre 31 obtenemos s, que vale 9 (412 = 13*31 + 9).<\/p>\n<p>Y por tanto la respuesta de tres d\u00edgitos ser\u00e1 17 + 31 + 5 + 9 = 062.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Concurso AIME 2016 (Examen Matem\u00e1tico Invitacional Americano) Se dirige a una edad de: 15-16 a\u00f1os En esta competici\u00f3n se invita a las personas que han tenido cierto \u00e9xito en el AMC 10 o AMC 12, consta de 15 preguntas para 3 horas, y la respuesta siempre es un n\u00famero entre 000 y 999. Cuando dividimos [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-258","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/258","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=258"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/258\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":261,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/258\/revisions\/261"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=258"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=258"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=258"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}