{"id":2599,"date":"2022-09-17T07:44:58","date_gmt":"2022-09-17T07:44:58","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2599"},"modified":"2022-09-17T07:44:58","modified_gmt":"2022-09-17T07:44:58","slug":"solucion-a-llegando-a-la-fiesta","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2022\/09\/17\/solucion-a-llegando-a-la-fiesta\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a llegando a la fiesta"},"content":{"rendered":"
Problema 12 del concurso Marat\u00f3 de problemes 2022\r\nSe dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os<\/pre>\n
En una sala hay m personas que tienen una media de edad de A a\u00f1os y A es un n\u00famero entero.<\/p>\n
Entonces llega otro grupo con n personas que tienen una media de edad de A + 7 a\u00f1os.<\/p>\n
Resulta que la media de edad de todas las personas de la sala es, ahora, tambi\u00e9n un n\u00famero entero.<\/p>\n
\u00bfCu\u00e1ntos valores diferentes puede tener la raz\u00f3n m\/n y cu\u00e1l es la suma de todos esos valores?<\/p>\n
A los concursantes, en lugar de 7 les aparec\u00eda otro valor, que depend\u00eda de su contrase\u00f1a.
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nEs clave probar con valores diferentes para estudiar las relaciones que se pueden dar.<\/p>\n
En primer lugar, puesto que hay m personas y tiene una media de A a\u00f1os de edad, sabemos que A\u00b7m  ser\u00eda la suma de todas las edades (por ejemplo, si la media de edades fuese 20, y hubiese 11 personas, la suma de las edades ser\u00eda 220).<\/p>\n
Cuando llega un grupo de n personas, con una media de A + 7, tendremos que la suma de las edades de estas n personas ser\u00e1 (A + 7)n = A\u00b7n + 7n (por ejemplo, si llegan 5 personas con una media de edades de 27, sumar\u00edan un total de 135 a\u00f1os).<\/p>\n
Ahora, para calcular la media global, debemos sumar las edades de ambos grupos, A\u00b7(m + n) + 7n, y esto deber\u00eda ser divisible por el total de personas, m + n (en nuestro ejemplo, tendr\u00edamos 20\u00b716 + 7\u00b75 = 320 + 35 = 355, pero en ese caso, no es divisible por 16, es decir, la media no ser\u00eda un n\u00famero entero).<\/p>\n
Puesto que la parte A\u00b7(m + n) es divisible siempre entre m + n, tenemos que m + n debe dividir a 7n. Y, puesto que 7 es un n\u00famero primo, y n es menor que m + n, m + n debe ser un m\u00faltiplo de 7.<\/p>\n
Construyamos un primer ejemplo. Imaginemos que m y n suman, por ejemplo, 7.<\/p>\n
Puede ser que m sea 1 y n sea 6, por ejemplo. En ese caso, nuestro ejemplo ser\u00eda 20 de edad media (y \u00fanica) en el primer grupo y la suma de edades ser\u00eda 27\u00b76 = 162 en el segundo. El total de edades ser\u00eda 182, que dividido por 7 dar\u00eda, en efecto, 26. En ese caso, m\/n es 1\/6. Algebraicamente, se puede descubrir que la media del grupo completo en ese caso siempre es A + 6. Rec\u00edprocamente, si la media es A + 6, entonces tenemos que A(m + n) + 7n = A(m + n) + 6m + 6n, con lo que n = 6m, y m\/n es 1\/6.<\/p>\n
Tambi\u00e9n podr\u00eda ser que m sea 2 y n sea 5, por ejemplo. En ese caso, tenemos que en nuestro ejemplo la media de edades ser\u00eda 25, y m\/n ser\u00eda 2\/5. Adem\u00e1s, la media de edades siempre coincidir\u00eda con A + 5.<\/p>\n
Esto da una idea muy conveniente para finalizar el problema. La media de edades siempre es un valor intermedio entre A y A + 7, y por tanto el conjunto de posibles cocientes de m\/n ser\u00eda 1\/6, 2\/5, 3\/4, 4\/3, 5\/2 y 6.<\/p>\n
Y la suma de todos esos posibles valores ser\u00eda  1\/6 + 2\/5 + 3\/4 + 4\/3 + 5\/2 + 6 = 10\/60 + 24\/60 + 45\/60 + 80\/60 + 150\/60 + 360\/60 = 669\/120 = 223\/20.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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