{"id":2605,"date":"2022-09-24T07:15:19","date_gmt":"2022-09-24T07:15:19","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2605"},"modified":"2022-09-24T07:15:19","modified_gmt":"2022-09-24T07:15:19","slug":"solucion-a-nueve-dados","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2022\/09\/24\/solucion-a-nueve-dados\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a nueve dados"},"content":{"rendered":"
Problema 13 del concurso Marat\u00f3 de problemes 2022\r\nSe dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os<\/pre>\n
Tenemos 9 dados. Cuatro son de color \u00e1mbar, tres de color azul, y dos de color rojo.<\/p>\n
Los dados de cada color son indistinguibles entre s\u00ed.<\/p>\n
Los queremos poner, los nueve, unidos cada uno de ellos con el otro por un lado. En el dibujo aparece un ejemplo.<\/p>\n
A) \u00bfDe cu\u00e1ntas maneras podemos situar los dados, fij\u00e1ndonos \u00fanicamente en el color, de forma que cada uno de ellos tenga, toc\u00e1ndole, otro del mismo color?<\/p>\n
B) \u00bfDe cu\u00e1ntas formas podemos situar los dados para que ninguno de ellos tenga, toc\u00e1ndole, a ninguno del mismo color?
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nLa cantidad de posibilidades es muy grande, as\u00ed que deberemos dise\u00f1ar alg\u00fan m\u00e9todo para contarlos sin que se vuelva terriblemente largo.<\/p>\n
A) El primer detalle es que los dos rojos deben aparecer juntos, con lo que eso nos evita muchas opciones. En segundo lugar, resulta que los tres de color azul deben tambi\u00e9n estar unidos, ya que al menos dos de ellos deben estarlo, y el tercero no puede situarse de forma independiente.<\/p>\n
Por \u00faltimo, los cuatro \u00e1mbar deben estar, o bien los cuatro unidos, o bien en dos grupos de dos. A todos los efectos, consideraremos que est\u00e1n situados por parejas (pueden ser parejas unidas o separadas).<\/p>\n
Una vez hechas estas observaciones, es f\u00e1cil contabilizar que la cantidad de posiciones diferentes, entendi\u00e9ndolas como posibles \u00f3rdenes, ser\u00eda permutaciones de los 4 bloques, pero divididas por 2, ya que los dos bloques del mismo color son intercambiables, es decir, 4\u00b73\u00b72\/2 = 12.<\/p>\n
Con letras, A \u00e1mbar, B azul y C rojo, tendr\u00edamos, citando las 12 situaciones:<\/p>\n
AAAABBBCC
\nAAAACCBBB
\nAABBBAACC
\nAABBBCCAA
\nAACCAABBB
\nAACCBBBAA
\nBBBAAAACC
\nBBBAACCAA
\nBBBCCAAAA
\nCCAAAABBB
\nCCAABBBAA
\nCCBBBAAAA<\/p>\n
B) La impresi\u00f3n que tenemos es que vamos a tener muchas m\u00e1s situaciones en las que no se toquen dos del mismo color. Sin embargo, vamos a diferenciar algunos casos especiales.<\/p>\n
Si aparecen en los extremos dos de color no \u00e1mbar, nos quedan 7 posiciones para situar 4 \u00e1mbar, con lo que deber\u00edan estar alternados. En esos casos lo \u00fanico que tenemos que decidir es de qu\u00e9 color entre azul y rojo, elegimos las cinco posiciones impares, y tenemos por tanto que elegir de las cinco posiciones, las dos en las que vamos a poner los rojos, quedando 20 posibles posiciones.<\/p>\n
Supongamos que situamos un \u00e1mbar en un extremo, y uno no \u00e1mbar en el otro extremo. Nos quedan 7 posiciones para situar los 3 \u00e1mbar, pero no podemos poner uno junto al \u00e1mbar que tenemos en un extremo.<\/p>\n
Para fijar ideas, supondremos que el primero es \u00e1mbar y el \u00faltimo el que no es \u00e1mbar. El segundo no puede ser \u00e1mbar, por lo que tenemos 6 posiciones posibles para los tres \u00e1mbar sin que toquen otro \u00e1mbar. Los podemos poner en posici\u00f3n par o en posici\u00f3n impar, pero habr\u00e1 que tener cuidado con no poner del mismo color los dos no \u00e1mbar que van juntos.
\nDe esta forma, tenemos los siguientes casos:<\/p>\n
ABABABCAC
\nABABACABC
\nABABACACB
\nABABACBAC
\nABABCBABC
\nABACABABC
\nABACABACB
\nABACABCAB
\nABACACBAB
\nABACBABAC
\nABACBACAB
\nABCABABAC
\nABCABACAB
\nABCACABAB
\nACABABABC
\nACABABACB
\nACABABCAB
\nACABACBAB
\nACABCABAB
\nACACBABAB<\/p>\n
Un total de 20 posiciones posibles.<\/p>\n
A estas 20 posiciones, hemos de a\u00f1adir otras 20 en las que el \u00e1mbar del extremo est\u00e1 al final en lugar de al principio.<\/p>\n
Por tanto, hemos contabilizado 20 + 20 + 20 = 60 posiciones.<\/p>\n
Nos enfrentamos ahora al \u00faltimo subapartado, aquel en el que los dos extremos son \u00e1mbar. Nos quedan 7 posiciones para ubicar los dem\u00e1s, y tenemos que poner 3 azules, dos \u00e1mbar y dos rojos. Son muchos casos, pero podemos optar por subdividir a su vez este proceso seg\u00fan el n\u00famero de azules que haya en primera y s\u00e9ptima posici\u00f3n, o hacer un conteo manual.<\/p>\n
Con esta \u00faltima opci\u00f3n, tenemos:<\/p>\n
ABABACBCA
\nABABCABCA
\nABABCACBA
\nABABCBACA
\nABACABCBA
\nABACBABCA
\nABACBACBA
\nABACBCABA
\nABCABABCA
\nABCABACBA
\nABCABCABA
\nABCACBABA
\nABCBABACA
\nABCBACABA
\nACABABCBA
\nACABCBABA
\nACBABABCA
\nACBABACBA
\nACBABCABA
\nACBACBABA
\nACBCABABA<\/p>\n
En total tengo 21 casos. Para enumerarlos, intento completar la primera combinaci\u00f3n en orden alfab\u00e9tico en la que no hay dos letras repetidas, primera y \u00faltima son A, y usa exactamente 4 A, 3 B y 2 C, y voy aumentando siempre la \u00faltima letra posible, volviendo a situar las dem\u00e1s en orden correcto, y eliminando las que no sirven.
\nEn total, habr\u00e1 21 + 20 + 20 + 20 = 81 posibles casos.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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