{"id":2613,"date":"2022-10-01T07:04:57","date_gmt":"2022-10-01T07:04:57","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2613"},"modified":"2022-10-01T07:04:57","modified_gmt":"2022-10-01T07:04:57","slug":"solucion-a-completa-el-poligono","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2022\/10\/01\/solucion-a-completa-el-poligono\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a completa el pol\u00edgono"},"content":{"rendered":"
Problema 14 del concurso Marat\u00f3 de problemes 2022\r\nSe dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os<\/pre>\n
Este es el problema de razonamiento que m\u00e1s puntos da del concurso. Se trata de resolver tres problemas similares en los que hay que razonar el \u00e1rea que falta para completar el pol\u00edgono que se dibuja.<\/p>\n
A) Un tri\u00e1ngulo se ha descompuesto en dos partes, un cuadril\u00e1tero y un tri\u00e1ngulo, tal y como se ve en la figura.<\/p>\n
Se indican las longitudes de los segmentos en los que se han dividido los lados y el \u00e1rea del cuadril\u00e1tero.<\/p>\n
Calcula el valor X del \u00e1rea del tri\u00e1ngulo.
\n\"\"
\nB)
\nLas dos diagonales de un cuadril\u00e1tero lo dividen en 4 tri\u00e1ngulos. Si las \u00e1reas, tomadas en sentido horario, miden 24, 18, 12 y T, averigua el valor de T.
\n\"\"
\nc) En un hex\u00e1gono se trazan 4 diagonales, de la forma que indica el dibujo, y se ha descompuesto en seis tri\u00e1ngulos y un cuadril\u00e1tero.<\/p>\n
Conocemos las \u00e1reas de seis tri\u00e1ngulos, que podemos ver en la figura.<\/p>\n
Calcula el valor de Q, el \u00e1rea del cuadril\u00e1tero.
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nMi forma de aproximarme a estos problemas ser\u00e1 tratar de estudiar las relaciones entre las figuras.<\/p>\n
A) En este apartado, usaremos una figura intermedia, en la que tendremos una proporcionalidad t\u00edpica del teorema de Tales
\n\"\"
\nEn este caso, las dimensiones del tri\u00e1ngulo grande son proporcionales a las del peque\u00f1o con un factor de proporcionalidad 3 (los dos lados que prolongan los originales son 3 veces m\u00e1s grandes) por lo que el \u00e1rea ser\u00e1 9x.
\nAhora bien, este tri\u00e1ngulo tiene la misma altura que el que ten\u00edamos en el dibujo original, pero su base es 24, mientras que en el dibujo original, su base era 14.
\n\"\"
\nPor tanto, el tri\u00e1ngulo grande del dibujo debe tener un \u00e1rea de 14\u00b79x\/24 = 51 + x.<\/p>\n
Si simplificamos, tendremos 21x\/4 = 51 + x, por lo que 21x = 204 + 4x, y por tanto 17x = 204, de donde x = 12.<\/p>\n
B) En este apartado, observo que cada par de tri\u00e1ngulos que tienen un lado en com\u00fan, tienen las \u00e1reas proporcionales a sus alturas, y adem\u00e1s, si tienen sus bases sobre el mismo segmento, tienen la misma altura.
\n\"\"
\nDe esta forma, el tri\u00e1ngulo que mide 12 y el que mide 18 tienen la misma altura mirado sobre la base que est\u00e1 en el segmento que forma la diagonal que los separa del que mide T y del que mide 24.<\/p>\n
Por otro lado, en los mismos tri\u00e1ngulos que miden 12 y 18, si consideramos el segmento que los separa como base, sus alturas ser\u00e1n proporcionales a 12\/18 = 2\/3, es decir, que si el que mide 12 tiene una altura, por ejemplo, de 8, el otro tendr\u00e1 una altura de 12, mientras que si en lugar de eso tiene una altura de 14, el otro tendr\u00e1 una altura de 21.<\/p>\n
Pero claro, como el que mide T tiene la misma propiedad respecto al que mide 24, y ambos tienen la mismas alturas, respectivamente, que sus vecinos.<\/p>\n
Por lo tanto T\/24 tambi\u00e9n debe ser la fracci\u00f3n 2\/3, de forma que T mide exactamente 16.<\/p>\n
C) Una vez resuelto el apartado B), es muy sencillo abordar este problema, si tienes la precauci\u00f3n de trazar la diagonal que divide al cuadril\u00e1tero en dos tri\u00e1ngulos.
\n\"\"
\nDe esta forma, razonando de manera an\u00e1loga al apartado B), el tri\u00e1ngulo superior tendr\u00e1 un \u00e1rea de 14\u00b715\/6 = 35, mientras que el tri\u00e1ngulo inferior tendr\u00e1 un \u00e1rea de 21\u00b718\/9 = 42, as\u00ed que el \u00e1rea del cuadril\u00e1tero, que hemos llamado Q en el dibujo, valdr\u00e1 35 + 42 = 77.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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