{"id":2650,"date":"2022-11-06T12:52:33","date_gmt":"2022-11-06T12:52:33","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2650"},"modified":"2022-11-06T12:53:15","modified_gmt":"2022-11-06T12:53:15","slug":"solucion-a-todas-las-funciones","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2022\/11\/06\/solucion-a-todas-las-funciones\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a todas las funciones"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 2 del nivel B de la Olimpiada Auton\u00f3mica de la Comunidad Valenciana\r\nSe dirige a una edad de: 14 -15 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Encuentra todas las funciones polin\u00f3micas que son de la forma f(x) = x\u00b2 + ax + b que cumplen que f(2) = 0 y f(f(3)) = 0.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-2647\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2022\/10\/269.funcion.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2022\/10\/269.funcion.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2022\/10\/269.funcion-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nVeo dos formas de enfocar el problema.<\/p>\n<p>La primera, si sabemos que f(2) = 0, eso significa que el polinomio x\u00b2 + ax + c = (x \u2013 2)(x \u2013 r) para cierto valor r.<\/p>\n<p>Eso significa que f(3) = (3 \u2013 r), ya que 3 \u2013 2 = 1.<\/p>\n<p>Por lo tanto, f(3 \u2013 r) = 0, y necesariamente 3 \u2013 r = r, por lo que r tiene que valer exactamente 3\/2, o bien 3 \u2013 r = 2, en cuyo caso r = 1.<\/p>\n<p>Eso quiere decir que hay dos funciones que cumplen las dos cosas simult\u00e1neamente, x\u00b2 \u2013 (7\/2)x + 3 = (x \u2013 2)(x \u2013 3\/2), es decir, que a = -7\/2 y b = 3, y x\u00b2 \u2013 3x + 2 = (x \u2013 2)(x \u2013 1).<\/p>\n<p>La otra forma es, directamente, hacer un sistema, aunque es complicado.<\/p>\n<p>La expresi\u00f3n f(2) = 0 significa que 4 +2a + b = 0, por lo que tenemos la expresi\u00f3n 2a + b = -4, es decir, b = -4 \u2013 2a.<\/p>\n<p>Calcular f(3) es 9 + 3a + b = 5 + a.<\/p>\n<p>f(f(3)) = (5 + a)\u00b2 + a(5 + a) + b = 25 + 10a + a\u00b2 + 5a + a\u00b3 -4 &#8211; 2a = 2a\u00b2 + 13a + 21, con lo que, resolviendo la ecuaci\u00f3n 2a\u00b2 + 13a + 21 = 0, tendr\u00edamos que, o bien a = -3, o bien a = -7\/2. En el primer caso, b = 2 y en el segundo b = 3, y por tanto hay dos funciones, x\u00b2 \u2013 3x + 2 y la funci\u00f3n x\u00b2 \u2013 (7\/2)x + 3.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 2 del nivel B de la Olimpiada Auton\u00f3mica de la Comunidad Valenciana Se dirige a una edad de: 14 -15 a\u00f1os Encuentra todas las funciones polin\u00f3micas que son de la forma f(x) = x\u00b2 + ax + b que cumplen que f(2) = 0 y f(f(3)) = 0. Soluci\u00f3n:<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2242020,1738,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-2650","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiada-de-la-comunidad-valenciana","category-olimpiadas","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2650","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2650"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2650\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2653,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2650\/revisions\/2653"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2650"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2650"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2650"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}