{"id":2694,"date":"2022-12-17T22:04:14","date_gmt":"2022-12-17T22:04:14","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2694"},"modified":"2022-12-17T22:04:14","modified_gmt":"2022-12-17T22:04:14","slug":"solucion-a-sumas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2022\/12\/17\/solucion-a-sumas\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a sumas"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 4 del nivel B de la Olimpiada Auton\u00f3mica de la Comunidad Valenciana\r\nSe dirige a una edad de: 14 -15 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Observa la suma siguiente:<\/p>\n<p>9 + 26 = 35<\/p>\n<p>De los tres n\u00fameros implicados, uno es divisible por 2, pero no todos.<\/p>\n<p>Uno es divisible por 3, pero no todos.<\/p>\n<p>Uno es divisible por 5, pero no todos.<\/p>\n<p>Uno es divisible por 7, pero no todos.<\/p>\n<p>No hay ning\u00fan n\u00famero entero mayor que 1 que divida a los tres n\u00fameros.<\/p>\n<p>Una suma de este tipo, diremos que es interesante.<\/p>\n<p>a) Demuestra brevemente que ning\u00fan n\u00famero mayor que uno divide a dos de los tres n\u00fameros implicados en una suma interesante.<\/p>\n<p>b) \u00bfPuedes encontrar todas las sumas interesantes en las que el resultado es menor que 30?<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-2692\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2022\/12\/275.sumas_.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2022\/12\/275.sumas_.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2022\/12\/275.sumas_-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nPara el apartado a), basta ver que si dos de los tres n\u00fameros son divididos por el mismo factor, entonces el otro tambi\u00e9n, ya que ap + bp = (a + b)p, y tambi\u00e9n cp \u2013 ap = (c \u2013 a)p. Puesto que una suma interesante no puede tener todos sus n\u00fameros divididos por un mismo n\u00famero mayor que 1, no puede dividir tampoco a dos de ellos.<\/p>\n<p>Para el apartado b), hay que ordenar un poco las posibilidades.<\/p>\n<p>Puesto que uno de ellos debe tener factor 7, y entre 1 y 30 no hay muchos, veremos en qu\u00e9 posici\u00f3n tiene el m\u00faltiplo de 7.<\/p>\n<p>Si el resultado es 7, es imposible, ya que al menos otro debe valer 5 y otro 3.<\/p>\n<p>Si el resultado es 14, podr\u00edamos tener 5 + 9 = 14, como \u00fanica opci\u00f3n.<\/p>\n<p>Si el resultado es 21, podr\u00edamos tener 15 + 6 = 21, como \u00fanica opci\u00f3n.<\/p>\n<p>Si el resultado es 28, podr\u00edamos tener 25 + 3 = 28 como \u00fanica opci\u00f3n.<\/p>\n<p>En las dem\u00e1s que encontremos, el n\u00famero divisible por 7 no es el resultado, as\u00ed que podemos probar otras variantes.<\/p>\n<p>3 + 7 = 10 es la primera opci\u00f3n con un sumando 7 que cumple todos los requisitos.<\/p>\n<p>5 + 7 = 12 tambi\u00e9n<\/p>\n<p>8 + 7 = 15 tambi\u00e9n<\/p>\n<p>15 + 7 = 22 tambi\u00e9n<\/p>\n<p>18 + 7 = 25 tambi\u00e9n<\/p>\n<p>20 + 7 = 27 tambi\u00e9n<\/p>\n<p>Usando el 14, tenemos<\/p>\n<p>1 + 14 = 15<\/p>\n<p>6 + 14 = 20<\/p>\n<p>10 + 14 = 24<\/p>\n<p>Usando el 21, tenemos<\/p>\n<p>4 + 21 = 25<\/p>\n<p>5 + 21 = 26<\/p>\n<p>Y, evidentemente, no podemos usar el 28 como sumando.<\/p>\n<p>En total, tenemos 14 posibilidades.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 4 del nivel B de la Olimpiada Auton\u00f3mica de la Comunidad Valenciana Se dirige a una edad de: 14 -15 a\u00f1os Observa la suma siguiente: 9 + 26 = 35 De los tres n\u00fameros implicados, uno es divisible por 2, pero no todos. 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