{"id":271,"date":"2017-11-25T10:53:50","date_gmt":"2017-11-25T10:53:50","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=271"},"modified":"2018-09-15T07:02:45","modified_gmt":"2018-09-15T07:02:45","slug":"infinitos-primos-delante-de-un-multiplo-de-3-s","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2017\/11\/25\/infinitos-primos-delante-de-un-multiplo-de-3-s\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a infinitos primos delante de un m\u00faltiplo de 3"},"content":{"rendered":"
Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola, fase local 2017\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Demuestra que hay infinitos primos cuyo resto al dividirlos entre 3 es 2, es decir, que son anteriores a un m\u00faltiplo de 3.
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\nSoluci\u00f3n:<\/p>\n
Siguiendo el ejemplo de la demostraci\u00f3n de la infinitud de n\u00fameros primos, debemos construir una reducci\u00f3n al absurdo, es decir, suponer que hay una cantidad finita, y conseguir otro que sea de esa misma forma, y primo con todos los anteriores (incluso con los que no sean de esa forma).<\/p>\n
Para empezar, vamos a buscar alg\u00fan primo con esa propiedad. Est\u00e1 claro que 2, 5, y 11 son primos con esa propiedad.<\/p>\n
Supongamos ahora que hubiese una cantidad finita. Tendr\u00edamos que elaborar un n\u00famero que fuese primo a partir de ellos. Las caracter\u00edsticas de ser primo se relacionan a trav\u00e9s de la multiplicaci\u00f3n, es decir, un n\u00famero es primo si no podemos multiplicar dos n\u00fameros mayores que uno y obtener ese n\u00famero como resultado.<\/p>\n
Supongamos ahora que multiplicamos todos los n\u00fameros primos de ese tipo, que hemos supuesto que hay en n\u00famero finito. El truco m\u00e1s habitual para obtener un n\u00famero que sea dif\u00edcil de dividir por los primos que ya tenemos es sumarle uno, ya que al a\u00f1adir una unidad, el resultado no es divisible por ninguno de los n\u00fameros primos que hemos usado para obtener el producto previo (por ejemplo, 2\u00b73 + 1 no es divisible por 2 ni por 3, en este caso es primo, no siempre es primo, pero al menos no es divisible entre esos dos).<\/p>\n
Bien, pues sum\u00e9mosle uno. Lo primero que debemos asegurar es que es de ese tipo.<\/p>\n
Si multiplicamos un n\u00famero de resto 2 al dividir entre 3 por otro del mismo tipo, el resto del resultado ser\u00e1 el mismo que el de 2\u00b72 = 4, es decir 1. Sin embargo, si multiplicamos tres n\u00fameros de ese tipo, estaremos multiplicando uno de resto 1 (el producto de los 2 primeros) por otro de resto 2, y el resto del resultado ser\u00e1 el de 1\u00b72 = 2.  Si multiplicamos cuatro, volveremos a obtener uno de resto uno, razonando as\u00ed, por lo que, por inducci\u00f3n, si el n\u00famero de primos que hemos usado es par, el resto al dividir por 3 es 1, y si es impar, el resto ser\u00e1 2.<\/p>\n
Con el conocimiento del p\u00e1rrafo anterior, es evidente que necesitamos que el resto del producto que ten\u00edamos fuese de resto 1, para que al sumarle 1 obtengamos uno de resto 2. As\u00ed que en el caso de que tengamos un n\u00famero impar de primos en ese hipot\u00e9tico conjunto finito de n\u00fameros primos con resto 2, multiplicaremos el resultado por 2, por ejemplo, y garantizaremos que el resto del resultado es 1, es decir, que el resto despu\u00e9s de sumarle 1 es 2.<\/p>\n
Pongamos un ejemplo. Si s\u00f3lo tuvi\u00e9semos 2 y 5, el resultado del producto es 10, luego al sumarle uno dar\u00e1 11, que es de los que nos interesan. Sin embargo, si fuese 2, 5, y 11, el resultado del producto ser\u00e1 110, y su suma no es del tipo que queremos, 111 (de hecho, es m\u00faltiplo de 3),  pero si lo volvemos a multiplicar por 2, tenemos el 220, que al sumarle 1 ser\u00eda 221, que s\u00ed es de resto 2. y sigue sin ser m\u00faltiplo de 2, 5 u 11.<\/p>\n
As\u00ed que, seg\u00fan la hip\u00f3tesis de partida, tenemos un n\u00famero (de resto 2 con tres) que no es m\u00faltiplo de ninguno de los n\u00fameros primos que da resto 2, as\u00ed que, en el caso de que no sea primo, toda su descomposici\u00f3n en factores, deber\u00eda ser con otros primos, y, claro, ninguno debe ser 3, puesto que tiene resto 2, pero el producto de dos primos de resto 1 tambi\u00e9n tiene resto 1, luego el n\u00famero deber\u00eda ser de resto 1.<\/p>\n
Por tanto, debe ser primo, cosa que tambi\u00e9n es imposible por ser de resto 2, y no estar\u00eda en el conjunto inicial. Por reducci\u00f3n al absurdo, tendr\u00edamos que este conjunto es, en efecto, infinito.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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