{"id":2714,"date":"2023-01-07T06:48:05","date_gmt":"2023-01-07T06:48:05","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2714"},"modified":"2023-01-07T06:48:05","modified_gmt":"2023-01-07T06:48:05","slug":"solucion-a-el-bosque","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2023\/01\/07\/solucion-a-el-bosque\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a el bosque"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 5 del nivel B de la Olimpiada Auton\u00f3mica de la Comunidad Valenciana\r\nSe dirige a una edad de: 14 -15 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Un caprichoso mago vive en un bosque m\u00e1gico en el que inicialmente hay 800 \u00e1rboles, 100 abetos y 700 pinos.<\/p>\n<p>Cada noche, el mago elige un \u00fanico \u00e1rbol al azar y le aplica un hechizo que lo transforma en la otra especie.<\/p>\n<p>Su hechizo no siempre sale bien, s\u00f3lo consigue transformar una tercera parte de las veces un abeto en un pino, pero cuando empieza con un pino es peor, s\u00f3lo la quinta parte de las veces consigue que se transforme en un abeto.<\/p>\n<p>a) \u00bfQu\u00e9 es m\u00e1s probable que ocurra la primera noche, que aumenten los abetos, o los pinos en el bosque? (se supone que no pueden haber m\u00e1s de 800 \u00e1rboles en el bosque, no nacen nuevos, ni tampoco mueren).<\/p>\n<p>b) \u00bfY si hubiese 700 abetos y 100 pinos al principio?<\/p>\n<p>c) \u00bfCon qu\u00e9 cantidad inicial de pinos y abetos la probabilidad de aumentar los pinos o los abetos es la misma?<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-2712\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2022\/12\/278.bosque.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2022\/12\/278.bosque.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2022\/12\/278.bosque-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nVamos a ver cu\u00e1l es la probabilidad de que aumenten los abetos, y la probabilidad de que aumenten los pinos por separado. No sumar\u00e1n 1, porque por otro lado est\u00e1 la probabilidad de que todo siga igual.<\/p>\n<p>Para que aumente el n\u00famero de abetos, debe suceder que el mago elija un pino (\u215e) y tenga \u00e9xito en su conversi\u00f3n (1\/5), as\u00ed que la probabilidad de que sucedan ambas cosas ser\u00eda de 7\/40.<\/p>\n<p>Para que aumente el n\u00famero de pinos debe suceder que el mago elija un abeto (\u215b) y tenga \u00e9xito en la conversi\u00f3n (\u2153), por lo que la probabilidad de que ambas cosas ser\u00eda 1\/24.<\/p>\n<p>Si comparamos ambas fracciones, o sus equivalentes n\u00fameros decimales, tendremos que es m\u00e1s probable que aumenten los abetos.<\/p>\n<p>Si fuese al contrario, que hubiese 700 abetos y 100 pinos, las probabilidades ser\u00edan, respectivamente, 1\/40 y 7\/24, con lo que claramente ser\u00eda m\u00e1s probable que aumentaran los pinos.<\/p>\n<p>Para que se produzca un equilibrio, llamemos p a la probabilidad de elegir un pino, tendr\u00edamos que la probabilidad de aumentar los pinos ser\u00eda p\/5, mientras que la probabilidad de aumentar los abetos ser\u00eda (1 \u2013 p)\/3, y, claramente, ser\u00edan iguales, por lo que 5 \u2013 5p = 3p, con lo que p = \u215d.<\/p>\n<p>En caso de haber 800 \u00e1rboles, esto suceder\u00eda cuando hubiese 500 pinos y 300 abetos. La probabilidad en ese caso de ambas circunstancias ser\u00eda de 1\/8 (y 3\/4 la probabilidad de que el bosque se quedase un d\u00eda m\u00e1s en ese estado.<\/p>\n<p>En ese caso, el trabajo de nuestro caprichoso mago ser\u00eda bastante in\u00fatil, ya que la tendencia ser\u00eda a permanecer con el paso del tiempo en la misma proporci\u00f3n (todo desequilibrio tender\u00eda a deshacerse con el tiempo).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 5 del nivel B de la Olimpiada Auton\u00f3mica de la Comunidad Valenciana Se dirige a una edad de: 14 -15 a\u00f1os Un caprichoso mago vive en un bosque m\u00e1gico en el que inicialmente hay 800 \u00e1rboles, 100 abetos y 700 pinos. 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