{"id":2749,"date":"2023-02-11T07:25:44","date_gmt":"2023-02-11T07:25:44","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2749"},"modified":"2023-02-11T07:25:44","modified_gmt":"2023-02-11T07:25:44","slug":"solucion-a-volver-los-numeros-iguales","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2023\/02\/11\/solucion-a-volver-los-numeros-iguales\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a volver los n\u00fameros iguales"},"content":{"rendered":"
Problema 2 de la Fase Local de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2023 (viernes ma\u00f1ana)\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Sea n >= 3 un entero positivo.<\/p>\n
Los primeros n n\u00fameros positivos, 1, 2, \u2026 , n se escriben en una pizarra.<\/p>\n
Mar\u00eda realiza el siguiente proceso tantas veces como se quiera: primero elige dos n\u00fameros en una pizarra, y luego los reemplaza con aquellos que resultan de sumarle a ambos el mismo n\u00famero positivo.<\/p>\n
Determinar todos los enteros positivos n para los que Mar\u00eda puede conseguir, repitiendo este proceso, que todos los n\u00fameros de la pizarra sean iguales.
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nSi ensayamos un poco el proceso encontraremos casos como lo que sucede al escribir 3 n\u00fameros:<\/p>\n
1, 2, 3, que puede convertirse en
\n3, 4, 3, y en
\n4, 4, 4, y ser todos iguales<\/p>\n
O por ejemplo, lo que sucede con 4 n\u00fameros:
\n1, 2, 3, 4
\n3, 4, 3, 4
\n4, 4, 4, 4<\/p>\n
Para generalizar, podemos tratarlo de la siguiente manera:<\/p>\n
Los n\u00fameros impares est\u00e1n comprendidos entre los que Mar\u00eda puede igualar, ya que podemos tomar en una primera etapa el n\u00famero central y cada uno de los n\u00fameros menores, y a\u00f1adirle lo que sea necesario para que sea igual a su sim\u00e9trico, es decir, n \u2013 1 a 1 (y al central), n \u2013 3 a 2 (y al central), etc\u00e9tera. En ese proceso, tendremos una cadena sim\u00e9trica, en la que todos los n\u00fameros del inicio son id\u00e9nticos a sus sim\u00e9tricos, y el n\u00famero central ser\u00e1 mucho mayor, ya que habremos sumado a ese n\u00famero, que originalmente era (n + 1)\/2, la progresi\u00f3n aritm\u00e9tica de todos los pares menores que n (que ser\u00eda (n + 1)(n \u2013 1)\/4). Ahora, tomaremos cada una de las parejas y les vamos sumando lo que sea necesario para que sean iguales al central. Con este proceso, tendremos toda la cadena igualada.<\/p>\n
1 2 3 4 5
\n5 2 7 4 5
\n5 4 9 4 5
\n9 4 9 4 9
\n9 9 9 9 9<\/p>\n
Los m\u00faltiplos de 4 tambi\u00e9n tienen una estrategia derivada del ensayo con los 4 primeros n\u00fameros: los agrupamos de 4 en 4 de forma consecutiva y le aplicamos la misma t\u00e1ctica: sumamos 2 al primero y al segundo, con lo que ser\u00edan iguales el primero y el tercero, y el segundo y el cuarto. Ahora, a\u00f1adiendo 1 al primero y al tercero, los cuatro ser\u00e1n iguales.
\np, p + 1, p + 2, p + 3
\np + 2, p + 3, p + 2, p + 3
\np + 3, p + 3, p + 3, p + 3<\/p>\n
A partir de ah\u00ed, a\u00f1adimos por parejas la diferencia con el mayor, n, y vamos haciendo todos iguales a n. Por tanto tambi\u00e9n los m\u00faltiplos de 4 son del tipo de entero que Mar\u00eda puede igualar con su proceso.<\/p>\n
Por \u00faltimo, quedan aquellos pares que no son m\u00faltiplos de 4, como 6.<\/p>\n
Diferentes ensayos  con los 6 primeros n\u00fameros revelan que no es posible lograrlo con 6, pero hay un detalle en el que nos podemos fijar.
\n1 2 3 4 5 6
\n3 4 3 4 5 6
\n5 4 5 4 5 6
\n5 5 5 5 5 6<\/p>\n
\u00a1Hay uno diferente! Esta claro que cada vez que a dos de ellos les a\u00f1adimos el mismo n\u00famero, estamos a\u00f1adiendo un n\u00famero par, y que si todos fueran iguales, da un n\u00famero par, pero si sumamos cinco 5 y un 6, da impar, as\u00ed que no podremos nunca culminar el proceso. <\/p>\n
\u00bfSuceder\u00e1 eso con todos los n\u00fameros pares que no son m\u00faltiplos de 4?<\/p>\n
En efecto, los pares no m\u00faltiplos de 4 se pueden escribir de la forma 4p + 2. La suma de los 4p + 2 primeros n\u00fameros, que forman una progresi\u00f3n aritm\u00e9tica, ser\u00eda (1 + 4p + 2)(4p + 2)\/2 = (4p + 3)(2p + 1), que es evidentemente un n\u00famero impar desde el primer momento que los escribimos en la pizarra.<\/p>\n
Por tanto, aunque Mar\u00eda repita el proceso las veces que quiera, siempre obtendr\u00e1 una suma total impar, y por tanto nunca ser\u00e1n todos iguales, ya que al ser una cantidad par, al lograrlo deber\u00edan sumar una cantidad par.<\/p>\n
La conclusi\u00f3n es que los valores de n para los que Mar\u00eda puede lograr que todos los n\u00fameros son iguales ser\u00e1n \u00fanicamente los n\u00fameros impares y los m\u00faltiplos de 4.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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