{"id":2756,"date":"2023-02-18T16:59:18","date_gmt":"2023-02-18T16:59:18","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2756"},"modified":"2023-02-20T19:54:42","modified_gmt":"2023-02-20T19:54:42","slug":"solucion-a-un-sistema-y-un-eneagono","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2023\/02\/18\/solucion-a-un-sistema-y-un-eneagono\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a un sistema y un ene\u00e1gono"},"content":{"rendered":"
Problema 3 de la Fase Local de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2023 (viernes ma\u00f1ana)\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Decimos que una terna (a, b, c) de n\u00fameros reales todos distintos de cero, es local, si:
\na\u00b2 + a = b\u00b2<\/p>\n
b\u00b2 + b = c\u00b2<\/p>\n
c\u00b2 + c = a\u00b2.<\/p>\n
(a) Probar que, si (a, b, c) es local, entonces (a \u2013 b)(b \u2013 c)(c \u2013 a) = 1.<\/p>\n
(b) Sea A\u2081 A\u2082 \u2026 A\u2089 un ene\u00e1gono regular (pol\u00edgono regular de 9 lados). Supongamos que |A\u2081A\u2084| = 1 y sea |A\u2081A\u2082| = a, |A\u2081A\u2083| = b y |A\u2081A\u2085| = c. Prueba que (a, b, -c) es local.
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nPuesto que queremos mantener una cierta simetr\u00eda con las tres letras, debemos tener en cuenta que al ser locales, una terna debe cumplir las tres condiciones, pero podemos expresarlas como una diferencia de cuadrados.<\/p>\n
b\u00b2 \u2013 a\u00b2 = a
\nc\u00b2 \u2013 b\u00b2 = b
\na\u00b2 \u2013 c\u00b2 = c<\/p>\n
Por tanto, tenemos que b \u2013 a = a\/(b + a), y de manera similar, c \u2013 b = b\/(c + b) y tambi\u00e9n a \u2013 c = c\/(a + c). Observamos que, puesto que ninguno de los tres n\u00fameros vale 0 y es producto de dos n\u00fameros, ninguno de los factores implicados puede ser 0.<\/p>\n
Pero, adem\u00e1s, si sumamos las tres igualdades, tenemos que 0 = a + b + c, es decir, que a + b = – c, b + c = a y (a + c) = – b.<\/p>\n
Por lo tanto, b \u2013 a = – a\/c, es decir, a \u2013 b = a\/c, y de manera an\u00e1loga, b \u2013 c = b\/a y tambi\u00e9n c \u2013 a = c\/b.<\/p>\n
De esta forma, est\u00e1 claro que (b \u2013 a)(b \u2013 c)(c \u2013 a) = abc\/(cab) = 1, ya que no pueden valer 0.<\/p>\n
Ahora, para trabajar con un ene\u00e1gono, debemos recurrir a utilizar el \u00e1ngulo central y trigonometr\u00eda no elemental, o bien el Teorema de Ptolomeo, que es equivalente, y estudiar cuidadosamente las relaciones entre las diferentes diagonales que aparecen.<\/p>\n
Ahora bien, razonando s\u00f3lo con tri\u00e1ngulos semejantes es posible conseguirlo. Si construimos un cuadril\u00e1tero con las diagonales que constituyen a, b y 1 seg\u00fan el enunciado, tenemos la siguiente figura:
\n\"\"
\nDada la regularidad del ene\u00e1gono, tenemos que cada una de las diagonales que miden b se cortan en segmentos que miden k y b \u2013 k. Adem\u00e1s, por estar inscritos en una circunferencia, el \u00e1ngulo que forma la diagonal b con la que mide 1 es el mismo que el que forma con el que mide a, por lo que el tri\u00e1ngulo que se forma con las medidas b \u2013 k, a y k (en orden decreciente) es semejante al que forma 1, b y a. Eso quiere decir, por un lado que a\/k = b\/a, es decir, que k = a\u00b2\/b, y 1\/(b \u2013 k) = a\/k, con lo que k = ab \u2013 a k, es decir, k + ak = ab, por lo que k = ab\/(1 + a). De estas dos maneras diferentes de calcular k, deducimos que a\u00b2\/b = ab\/(1 + a), por lo que a\/b = b\/(1 + a), y por tanto a\u00b2 + a = b\u00b2.<\/p>\n
Ahora, si buscamos la relaci\u00f3n entre a y c, construimos otro cuadril\u00e1tero que contenga a y c, que podr\u00eda ser el siguiente:
\n\"\"
\nEn este cuadril\u00e1tero de nuevo volvemos a encontrar el lado que mide c partido por otro lado que mide c, con lo que hay un tri\u00e1ngulo formado por k, c \u2013 k y b que es semejante a otro formado por b, 1 y c, por lo que 1\/(c \u2013 k) = c\/b, y tambi\u00e9n b\/k = c\/b, de donde es sencillo deducir que b\u00b2 + b = c\u00b2. Es decir, que b\u00b2 + b = (-c)\u00b2.<\/p>\n
Por \u00faltimo, los lados m\u00e1s dif\u00edciles de relacionar son a y c. Se puede recurrir a este cuadril\u00e1tero, pero debemos usar un \u00e1ngulo determinado para cortar el segmento que hace de diagonal del cuadril\u00e1tero.
\n\"\"
\nDe esta forma, el tri\u00e1ngulo formado por los segmentos que en el dibujo miden a, k y p, razonando por arcos inscritos, es decir, por el tama\u00f1o del arco que capturan, es semejante al que forman los segmentos que miden c, a y 1, por lo que se cumple que a\/k = c\/a. Por otra parte, el tri\u00e1ngulo que forman los segmentos c \u2013 k, p y 1 es semejante al que forman c, a, y c (la diagonal). Esta proporci\u00f3n lo que nos dice es que es un tri\u00e1ngulo is\u00f3sceles, es decir, que 1 = c \u2013 k.<\/p>\n
La primera relaci\u00f3n nos dice que k = a\u00b2\/c, mientras que la segunda nos dice que k = c \u2013 1.<\/p>\n
Uniendo ambas, tenemos que c \u2013 1= a\u00b2\/c, por lo que c\u00b2 \u2013 c = a\u00b2, o lo que es lo mismo, (-c)\u00b2 + (- c) = a\u00b2, que es lo que falta para probar que (a, b y -c) es una terna local.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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