{"id":2768,"date":"2023-02-25T06:49:43","date_gmt":"2023-02-25T06:49:43","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2768"},"modified":"2023-02-25T06:49:43","modified_gmt":"2023-02-25T06:49:43","slug":"solucion-a-un-paralelogramo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2023\/02\/25\/solucion-a-un-paralelogramo\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a un paralelogramo"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 4 de la Fase Local de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2023 (viernes ma\u00f1ana)\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Consideramos un paralelogramo ABCD.<\/p>\n<p>Una circunferencia \u0393 que pasa por el punto A corta a los lados AB y AD en los puntos E y F, respectivamente, y a la diagonal AC en el punto G.<\/p>\n<p>La prolongaci\u00f3n de la recta FG corta al lado BC en H, y la prolongaci\u00f3n de EG corta al lado CD en I.<\/p>\n<p>Demuestra que la recta HI es paralela a EF.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-2764\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2023\/02\/285.paralelogramo.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2023\/02\/285.paralelogramo.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2023\/02\/285.paralelogramo-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nLos argumentos que se pueden dar en este problema son muy numerosos. Puesto que est\u00e1 implicada una circunferencia y un paralelogramo, muchos \u00e1ngulos est\u00e1n repetidos.<\/p>\n<p>Usando el \u00e1ngulo central, es muy sencillo ver que un paralelogramo est\u00e1 inscrito en una circunferencia (es decir, es c\u00edclico) si y s\u00f3lo si dos de sus \u00e1ngulos opuestos suman 180\u00ba.<\/p>\n<p>Esto nos permite ver que el cuadril\u00e1tero AEGF es inscrito, y por tanto el GHCI tambi\u00e9n lo es, ya que comparten \u00e1ngulo en G por formarlo las mismas rectas, y tambi\u00e9n en C, por ser ABCD paralelogramo.<\/p>\n<p>Lo \u00fanico que tenemos que ver es que el \u00e1ngulo que forma el segmento HI con CB (o con CD) es  el mismo que el que forma EF con AD (o con AB).<\/p>\n<p>Pero claro, precisamente por esa raz\u00f3n, el \u00e1ngulo que se forma en AFE es el mismo que AGF, que es el mismo que CGH y por tanto es el mismo que CIH. Que es justo lo que necesitamos.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 4 de la Fase Local de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2023 (viernes ma\u00f1ana) Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Consideramos un paralelogramo ABCD. Una circunferencia \u0393 que pasa por el punto A corta a los lados AB y AD en los puntos E y F, respectivamente, y a la diagonal AC [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2242021,1738,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-2768","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiada-matematica-espanola","category-olimpiadas","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2768","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2768"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2768\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2769,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2768\/revisions\/2769"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2768"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2768"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2768"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}