{"id":277,"date":"2017-12-01T19:11:35","date_gmt":"2017-12-01T19:11:35","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=277"},"modified":"2018-09-15T07:02:01","modified_gmt":"2018-09-15T07:02:01","slug":"a-un-punto-en-un-cuadrado-s","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2017\/12\/01\/a-un-punto-en-un-cuadrado-s\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a un punto en un cuadrado"},"content":{"rendered":"<pre>Olimpiada Telem\u00e1tica Catalana (Olitele) 2016\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Sea E un punto interior de un cuadrado ABCD que cumple que su distancia al v\u00e9rtice B es el doble que al v\u00e9rtice A, y la distancia al v\u00e9rtice C es triple que al v\u00e9rtice A.<\/p>\n<p>Encuentra la medida en grados del \u00e1ngulo AEB.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"aligncenter size-full wp-image-275\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2017\/11\/20.puntoencuadrado.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2017\/11\/20.puntoencuadrado.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2017\/11\/20.puntoencuadrado-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/p>\n<p>Soluci\u00f3n:<!--more--><br \/>\nEste problema es para hacer en casa, ya que el concurso Olitele es a trav\u00e9s de Internet.<\/p>\n<p>La medida del \u00e1ngulo es independiente de la escala que se use para medir el cuadrado, as\u00ed que podemos suponer que mide una unidad de lado (o cualquier otra cantidad), y la demostraci\u00f3n no perder\u00e1 generalidad.<\/p>\n<p>Hemos estudiado varias v\u00edas de ataque, pero creemos que la m\u00e1s directa (a\u00fan as\u00ed, es larga) consiste en estudiar el problema con vectores. Probablemente, vistas las soluciones, exista una forma de estudiar el problema con m\u00e9todos puramente geom\u00e9tricos, pero no se nos ocurre ninguna evidente.<\/p>\n<p>As\u00ed, si suponemos que el cuadrado mide la unidad, y las coordenadas de E son los valores (x, y), el punto A podr\u00edamos situarlo en el (0, 0) y el B en el (1, 0). Claramente, el C ser\u00eda (1, 1).<\/p>\n<p>La relaci\u00f3n de distancias corresponde a las distancias de E con A, B y C, que corresponde a los tama\u00f1os de los vectores (x, y), (1 \u2013 x, y) y (1 \u2013 x, 1 \u2013 y). Puesto que es m\u00e1s c\u00f3modo plantearlo sin ra\u00edces, elevaremos al cuadrado, con lo que hay dos relaciones:<\/p>\n<p>4x\u00b2 + 4y\u00b2 = (1 \u2013 x)\u00b2 + y\u00b2<\/p>\n<p>9x\u00b2 + 9y\u00b2 = (1 \u2013 x)\u00b2 + (1 \u2013 y)\u00b2<\/p>\n<p>Desarrollando los cuadrados y pasando todos los t\u00e9rminos al primer t\u00e9rmino, las expresiones quedan como dos ecuaciones de segundo grado:<\/p>\n<p>3x\u00b2 + 3y\u00b2 + 2x \u2013 1 = 0<\/p>\n<p>8x\u00b2 + 8y\u00b2 +2x +2y \u2013 2 = 0<\/p>\n<p>Se puede intuir que las dos ecuaciones corresponden a sendas circunferencias, por lo que es posible que haya dos puntos con esas caracter\u00edsticas. Para resolverlas, conviene combinarlas para eliminar la parte de segundo grado de una de ellas, despejar y sustituir en la m\u00e1s sencilla.<\/p>\n<p>De la primera, 24x\u00b2 + 24y\u00b2 + 16x \u2013 8 = 0.<\/p>\n<p>De la segunda, 24x\u00b2 + 24y\u00b2 +6x +6y \u2013 6 = 0.<\/p>\n<p>Restando la primera menos la segunda ordenadamente, tenemos 10x \u2013 6y \u2013 2 = 0. Es posible que os hayan contado que esta recta se llama la recta radical de dos circunferencias. Se simplifica a 5x \u2013 3y = 1.<\/p>\n<p>Ahora, en la recta, vamos a despejar la y y sustituir en la ecuaci\u00f3n 3x\u00b2 + 3y\u00b2 + 2x \u2013 1 = 0, la m\u00e1s sencilla de las dos obtenidas anteriormente. Claramente, y = (5\/3)x \u2013 1\/3.<\/p>\n<p>Para sustituir con comodidad, vamos a multiplicar la ecuaci\u00f3n por 3, as\u00ed el coeficiente de y\u00b2 ser\u00e1 9 y no quedar\u00e1n fracciones. La ecuaci\u00f3n en la que voy a sustituir queda 9x\u00b2 + 9y\u00b2 + 6x \u2013 3 = 0, y como 3y = 5x \u2013 1, al elevar al cuadrado, tenemos que 9y\u00b2 = 25x\u00b2 \u2013 10x + 1, por lo que la expresi\u00f3n al sustituir se transforma en :<\/p>\n<p>9x\u00b2 + 25x\u00b2 \u2013 10x + 1 + 6x \u2013 3 = 0<\/p>\n<p>Y esta expresi\u00f3n es una ecuaci\u00f3n de segundo grado, 34x\u00b2 \u2013 4x \u2013 2 = 0, que se puede simplificar dividiendo entre 2 a 17x\u00b2 \u2013 2x \u2013 1 = 0. Lamentablemente, no tiene soluciones enteras, pero s\u00ed irracionales, ser\u00edan x = (2 + ra\u00edz(72))\/34 = (1 + 3ra\u00edz(2))\/17 y la soluci\u00f3n negativa (1 \u2013 ra\u00edz(2))\/17, que no ser\u00eda v\u00e1lida en este caso, porque caer\u00eda fuera del cuadrado inicial.<\/p>\n<p>Para obtener la y, trabajar\u00edamos en la expresi\u00f3n 3y = 5x \u2013 1, obteniendo que 3y = (5 + 15ra\u00edz(2))\/17 \u2013 1 = (15ra\u00edz(2) \u2013 12)\/17. Como es divisible entre 3, tenemos que y = (5ra\u00edz(2) \u2013 4)\/17, que tambi\u00e9n es positivo.<\/p>\n<p>Ahora vemos que si hubi\u00e9semos tomado el cuadrado 17 unidades mayor, no tendr\u00edamos que trabajar con fracciones. Como ya hemos encontrado el punto, vamos a cambiar las unidades, de forma que A sigue siendo el (0, 0), B es el punto (17, 0), C es el (17, 17) y nuestro punto E tendr\u00eda las coordenadas (x, y) = (1 + 3ra\u00edz(2), 5ra\u00edz(2) \u2013 4), que son las que he puesto en el dibujo. Podr\u00edamos comprobar que las distancias cumplen lo que se nos pide, pero ahora vamos a calcular el \u00e1ngulo AEB.<\/p>\n<p>Si hab\u00e9is estudiado geometr\u00eda anal\u00edtica, sabr\u00e9is que para calcular el coseno de un \u00e1ngulo podemos multiplicar escalarmente los vectores EA y EB, y dividir por su m\u00f3dulo.<\/p>\n<p>Esto significa que hay que calcular (\u2013x, \u2013 y)\u00b7(17 \u2013 x, \u2013 y) y dividirlo entre el producto de las ra\u00edces de x\u00b2 + y\u00b2 y de (17 \u2013 x)\u00b2 + y\u00b2. Podr\u00edamos trabajar todo el rato con el producto al cuadrado hasta el final, pero no va a hacer falta, porque ambos valores son muy similares.<\/p>\n<p>El producto de los vectores (\u2013x, \u2013 y)\u00b7(17 \u2013 x, \u2013 y) = x\u00b2 \u2013 17 x + y\u00b2. En el caso que nos ocupa, da 1 + 18 + 6ra\u00edz(2) + 50 + 16 \u2013 40ra\u00edz(2) \u2013 17 \u2013 51ra\u00edz(2) = 68 \u2013 85ra\u00edz(2).<\/p>\n<p>Ahora, la distancia al cuadrado x\u00b2 + y\u00b2 da 1 + 18 + 6ra\u00edz(2) + 50 + 16 \u2013 40ra\u00edz(2) = 85 \u2013 34ra\u00edz(2), y la distancia al cuadrado (17 \u2013 x)\u00b2 + y\u00b2 debe dar exactamente el cu\u00e1druple. Podemos comprobar que, en efecto, 256 + 18 \u2013 96ra\u00edz(2) + 50 + 16 \u2013 40ra\u00edz(2) = 340 \u2013 136ra\u00edz(2) = 4*(85 \u2013 34ra\u00edz(2).<\/p>\n<p>Entonces, si multiplicamos la distancias d y 4d antes de sacar las ra\u00edces, tenemos 4d\u00b2, y la ra\u00edz cuadrada, es decir, el producto del denominador de nuestra fracci\u00f3n es 2d, es decir, 170 \u2013 68ra\u00edz(2).<\/p>\n<p>Simplificamos el factor 17, que ha aparecido en las dos expresiones, y tenemos que el coseno que buscamos es (4 \u2013 5ra\u00edz(2))\/(10 \u2013 4ra\u00edz(2)). Si racionalizamos esta expresi\u00f3n, obtenemos un valor mucho m\u00e1s familiar.<\/p>\n<p>(4 \u2013 5ra\u00edz(2))\/(10 \u2013 4ra\u00edz(2)) = (4 \u2013 5ra\u00edz(2))(10 + 4ra\u00edz(2))\/((10 \u2013 4ra\u00edz(2))(10 + 4ra\u00edz(2))) = (40 \u2013 40 \u2013 50ra\u00edz(2) + 16 ra\u00edz(2))\/(100 \u2013 32) = \u2013 34ra\u00edz(2)\/68 = \u2013ra\u00edz(2)\/2<\/p>\n<p>Es decir, que el \u00e1ngulo que buscamos es exactamente 135\u00ba, es decir, 90 + 45\u00ba.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Olimpiada Telem\u00e1tica Catalana (Olitele) 2016 Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Sea E un punto interior de un cuadrado ABCD que cumple que su distancia al v\u00e9rtice B es el doble que al v\u00e9rtice A, y la distancia al v\u00e9rtice C es triple que al v\u00e9rtice A. 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