{"id":2776,"date":"2023-03-04T06:45:53","date_gmt":"2023-03-04T06:45:53","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2776"},"modified":"2023-03-08T16:41:07","modified_gmt":"2023-03-08T16:41:07","slug":"solucion-a-reduciemdo-una-lista","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2023\/03\/04\/solucion-a-reduciemdo-una-lista\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a reduciendo una lista"},"content":{"rendered":"
Problema 5 de la Fase Local de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2023 (viernes ma\u00f1ana)\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Los inversos de los n\u00fameros enteros positivos de 2 a 2023 se escriben en una pizarra.<\/p>\n
En cada paso se seleccionan dos de los n\u00fameros de la pizarra, x e y, y se reemplazan con el n\u00famero xy\/(xy + (1 \u2013 x)(1 \u2013 y)).<\/p>\n
Este proceso se repite 2021 veces, hasta que s\u00f3lo quede un n\u00famero.<\/p>\n
\u00bfCu\u00e1les pueden ser los posibles n\u00fameros que se obtengan al repetir este proceso?
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nEste problema fue de los que m\u00e1s dif\u00edcil result\u00f3 para los participantes. Se hicieron varias consultas, acerca de qu\u00e9 significaba la palabra inverso y si los dos n\u00fameros se reemplazaban por un n\u00famero o por dos copias del mismo n\u00famero.<\/p>\n
La idea es que se habla de inverso de un n\u00famero entero como de aquel valor que cumple que al multiplicarlo por \u00e9l da 1. Es decir, que el inverso de 3 es \u2153 = 0.333\u2026<\/p>\n
Lo primero que debemos de hacer es experimentar con una secuencia corta. Por ejemplo, si se toman los valores \u00bd, \u2153 y \u00bc y se sustituyen \u2153 y \u00bc por la expresi\u00f3n, tenemos que el valor ser\u00eda (1\/3)(1\/4)\/((1\/3)(1\/4)+ (2\/3)(3\/4)) = (1\/12)\/(1\/12 + 6\/12) = (1\/12)\/(7\/12) = 1\/7.<\/p>\n
Se puede ver que si luego se toma el resultado 1\/7 y \u00bd, el resultado sigue siendo 1\/7, y que el resultado no var\u00eda si las parejas iniciales son otras.<\/p>\n
Creo que es bastante ilustrativo el ejemplo. Da la impresi\u00f3n de que si se toman valores de la forma 1\/n y 1\/m, se obtiene una expresi\u00f3n de la forma 1\/p, es decir, seguir\u00e1n siendo todo el rato inversos de n\u00fameros enteros.<\/p>\n
Probemos esta afirmaci\u00f3n. Si calculamos la f\u00f3rmula antedicha en 1\/n y 1\/m obtendremos (1\/n)(1\/m)\/((1\/n)(1\/m) + (1 \u2013 1\/n)(1 \u2013 1\/m)) = (1\/n)(1\/m)\/((1\/n)(1\/m) + ((n \u2013 1)\/n)((m \u2013 1)\/m)) = (1\/(nm))\/((1\/(nm) + (n \u2013 1)(m \u2013 1)\/(nm)) = (1\/(nm))\/((1 + (n \u2013 1)(m \u2013 1))\/(nm)) = 1\/(1 + (n \u2013 1)(m \u2013 1)).<\/p>\n
Luego, en efecto, todo el rato es como si estuvi\u00e9semos trabajando con valores enteros en lugar de con fracciones. Vamos a transformar el problema en otro equivalente, para poder responder a \u00e9l de forma eficaz.<\/p>\n
As\u00ed, en lugar de los inversos, escribiremos los n\u00fameros enteros 2, 3, \u2026 , 2023. Ahora, cuando seleccionamos dos de los n\u00fameros de la pizarra, n y m, los sustituimos por 1 + (n \u2013 1)(m \u2013 1). cuando acabemos el proceso, el n\u00famero que quede lo debemos invertir para dar la soluci\u00f3n.<\/p>\n
Se puede entender f\u00e1cilmente que el proceso es equivalente debido a la simplificaci\u00f3n que hemos hecho.<\/p>\n
Si nos fijamos, ahora en el proceso tenemos que restar 1 para hacer las operaciones. Podr\u00edamos restar 1 globalmente a todo el proceso, y poner los n\u00fameros reducidos en 1 para entender mejor toda la operaci\u00f3n.<\/p>\n
El proceso quedar\u00e1 de la siguiente forma: escribiremos los n\u00fameros 1, 2, \u2026 2022 (1 menos en cada caso). Ahora, cuando tomemos los valores n y m, en realidad estaremos tomando los que anteriormente eran n + 1 y m + 1, as\u00ed que la f\u00f3rmula que usaremos ser\u00e1 1 + ( n + 1 \u2013 1)( m + 1 \u2013 1) = 1 + nm. Sin embargo, antes de ponerlo en la pizarra, recordemos que estamos escribiendo un n\u00famero menos, as\u00ed que pondremos directamente nm.<\/p>\n
Cuando acabemos el proceso, para volver al proceso anterior, al resultado deberemos sumarle 1 para volver a la situaci\u00f3n anterior, e invertirlo para volver a la propuesta del problema.<\/p>\n
De esta forma, es evidente que, independientemente de la forma en la que se tomen los pares de n\u00fameros, en este tercer proceso que tenemos siempre acabar\u00e1 escrito el producto de todos los n\u00fameros enteros escrito inicialmente, 2022! = 1\u00b72\u00b73\u00b7…\u00b72022.<\/p>\n
Por tanto, en el segundo de los procesos que hemos creado, el n\u00famero que quedar\u00e1 ser\u00e1 2022! + 1, por lo que en el proceso original del problema s\u00f3lo puede aparecer un \u00fanico n\u00famero como resultado, y ser\u00e1 1\/(2022! + 1), el inverso del n\u00famero (2022! + 1). N\u00f3tese que este n\u00famero no ser\u00e1 divisible por ninguno de los n\u00fameros entre el 2 y el 2022, as\u00ed que su descomposici\u00f3n en primos tendr\u00e1 n\u00fameros primos muy grandes, como a\u00f1adido curioso.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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