{"id":2786,"date":"2023-03-12T20:31:34","date_gmt":"2023-03-12T20:31:34","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2786"},"modified":"2023-03-12T20:31:34","modified_gmt":"2023-03-12T20:31:34","slug":"solucion-a-ecuacion-exponencial","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2023\/03\/12\/solucion-a-ecuacion-exponencial\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a ecuaci\u00f3n exponencial"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 6 de la Fase Local de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2023 (viernes ma\u00f1ana)\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Encontrar todos los enteros positivos a, b, c &gt;= 1 que satisfacen la igualdad:<br \/>\n2^a + 7^b = c\u00b2 + 4<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-2781\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2023\/03\/287.exponencial.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2023\/03\/287.exponencial.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2023\/03\/287.exponencial-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSolucion:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nEs f\u00e1cil ver que la igualdad se cumple si a vale exactamente 2, y b es un n\u00famero par, con lo que c es el cuadrado de 7 elevado a la mitad de b.<\/p>\n<p>Lo que es m\u00e1s dif\u00edcil de probar es que no hay m\u00e1s soluciones. Si reescribimos la ecuaci\u00f3n como 7^b = c\u00b2 + 4 \u2013 2^a, y trabajamos mediante restos al dividir por 8, tenemos dos casos.<\/p>\n<p>Supongamos que a es 2. En ese caso, c\u00b2 es una potencia de 7, y s\u00f3lo puede ser c entero si b es par.<\/p>\n<p>Supongamos que a vale 1. En ese caso, sea cual sea el valor de b, puesto que 7 = 8 \u2013 1, tenemos que 7 elevado a cualquier potencia es necesariamente de la forma 8k + 1 o bien 8k \u2013 1, seg\u00fan que sea b par o impar. Sin embargo, los cuadrados tienen, respecto al m\u00f3dulo 8, las siguientes configuraciones: 8k (si el n\u00famero c es m\u00faltiplo de 4), 8k + 1 (si el n\u00famero es de la forma 4k + 1 o 4k \u2013 1), 8k + 4 (si c es de la forma 4k + 2). Por tanto, al sumarles 2, no pueden nunca coincidir.<\/p>\n<p>Y si a es estrictamente mayor que 2, tenemos que 2^a es m\u00faltiplo de 8, por lo que 4 \u2013 2^a es de la forma 8k + 4. De nuevo, tendremos que 7^b es de la forma 8k + 1 o bien de la forma 8k \u2013 1, y c\u00b2, por ser un cuadrado de un entero, s\u00f3lo puede ser 8k, 8k + 1 o bien 8k + 4, con lo que al sumarle 8k + 4, pasa a ser de la forma 8k + 4, 8k \u2013 3 o bien 8k, ninguna de las cuales puede coincidir con una potencia de 7.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 6 de la Fase Local de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2023 (viernes ma\u00f1ana) Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Encontrar todos los enteros positivos a, b, c &gt;= 1 que satisfacen la igualdad: 2^a + 7^b = c\u00b2 + 4 Solucion:<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2242021,1738,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-2786","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiada-matematica-espanola","category-olimpiadas","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2786","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2786"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2786\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2787,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2786\/revisions\/2787"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2786"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2786"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2786"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}