{"id":2794,"date":"2023-03-18T07:06:27","date_gmt":"2023-03-18T07:06:27","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2794"},"modified":"2023-03-18T07:06:27","modified_gmt":"2023-03-18T07:06:27","slug":"solucion-a-dividiendo-un-rectangulo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2023\/03\/18\/solucion-a-dividiendo-un-rectangulo\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a dividiendo un rect\u00e1ngulo"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 7 de la Fase Local de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2023 (s\u00e1bado)\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Sea n &gt;= 2 un entero positivo.<\/p>\n<p>Dividimos un rect\u00e1ngulo de n\u00b7(n + 1) en piezas rectangulares: dos de 1\u00b71, dos de 1\u00b72, y as\u00ed sucesivamente hasta dos de 1\u00b7n, con la propiedad de que para cada k &gt;= 2, una pieza 1\u00b7k tiene los lados largos horizontales y la otra verticales.<\/p>\n<p>Demostrar que, con estas condiciones, las dos piezas 1\u00b71 comparten un lado.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-2791\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2023\/03\/288.rectangulo.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2023\/03\/288.rectangulo.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2023\/03\/288.rectangulo-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nEn estos casos, es evidente que debemos empezar a trabajar en los casos m\u00e1s simples. Si n = 2, tenemos que dividir un rect\u00e1ngulo 2\u00b73 en cuatro piezas, dos de 1\u00b71, y dos de 1\u00b72, de forma que las dos piezas de 1\u00b72 sean perpendiculares entre s\u00ed. Puesto que la pieza 1\u00b72 con el lado largo en vertical ocupa dos filas consecutivas, esta claro que la pieza 1\u00b72 horizontal no puede estar en la fila media, as\u00ed que o bien se sit\u00faa arriba o bien abajo. De esta forma, la pieza vertical puede ir a la derecha o a la izquierda, pero las dos de tama\u00f1o 1 deben estar situadas juntas.<\/p>\n<p>Si n = 3, pasa algo similar con la de tama\u00f1o 1\u00b73 horizontal, no puede ocupar m\u00e1s que la primera horizontal o la \u00faltima, ya que si ocupa una de las intermedias no podremos situar la 1\u00b73 vertical. A su vez, la vertical s\u00f3lo podremos ponerla en la izquierda o la derecha, ya que en caso contrario no quedar\u00eda espacio para situar la 1\u00b72 horizontal, as\u00ed que una vez que las situemos ambas, nos quedar\u00e1 un rect\u00e1ngulo 2\u00b73 para rellenar, y as\u00ed lo reducimos al caso anterior.<\/p>\n<p>Esto sugiere que podemos probarlo por inducci\u00f3n. Supongamos probado para un valor n \u2013 1, y veamos que es cierto para el caso n.<\/p>\n<p>La clave est\u00e1 en situar en primer lugar los elementos 1\u00b7n, que s\u00f3lo podremos poner en los extremos, y el rect\u00e1ngulo que queda por cubrir es exactamente (n \u2013 1)\u00b7n, que es el que est\u00e1 probado por inducci\u00f3n.<\/p>\n<p>Evidentemente, el horizontal se pone primero, y para poder poner el vertical en alg\u00fan sitio, debemos situarlo arriba o abajo, quedando libre un cuadrado den tama\u00f1o n\u00b7n. Despu\u00e9s, el vertical hay que ponerlo en el lado izquierdo o el derecho, para poder ubicar m\u00e1s tarde el horizontal 1\u00b7(n \u2013 1).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 7 de la Fase Local de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2023 (s\u00e1bado) Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Sea n &gt;= 2 un entero positivo. 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