{"id":2800,"date":"2023-03-26T07:24:40","date_gmt":"2023-03-26T07:24:40","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2800"},"modified":"2023-03-26T07:24:40","modified_gmt":"2023-03-26T07:24:40","slug":"solucion-a-ecuacion-funcional","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2023\/03\/26\/solucion-a-ecuacion-funcional\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a ecuaci\u00f3n funcional"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 8 de la Fase Local de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2023 (s\u00e1bado)\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Encuentra todas las funciones reales de variable real que cumplen que f(x + f(y + f(x + f(y + f(x))))) = 3x + 2y para cualesquiera x, y.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-2798\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2023\/03\/289.funcional.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2023\/03\/289.funcional.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2023\/03\/289.funcional-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nTodas las ecuaciones funcionales son problemas que se resuelven dando inicialmente valores concretos para pasar a generalizar seg\u00fan vamos alterando par\u00e1metros.<\/p>\n<p>En este caso, puesto que la ecuaci\u00f3n tiene sumas, vamos a considerar el caso x = 0, y tambi\u00e9n y = 0.<\/p>\n<p>Puesto que f(0 + f(0 + f(0 + f(0 + f(0))))) = 0, sabemos que existe un valor, c tal que f(c) = 0. Concretamente, f(c + f(c + f(c + f(c  + f(c)))) = 5c, pero como f(c) = 0, tenemos que si vamos sustituyendo, 0 = 5c, por lo que c = 0.<\/p>\n<p>Al menos tenemos un valor, ahora veamos qu\u00e9 sucede con un valor cualquiera a. Supongamos que conocemos f(a), y si hacemos y = -f(a), tendremos que y + f(a) = 0, as\u00ed que sustituyendo en la f\u00f3rmula x por a y el valor y por -f(a), tendremos que f(a + f(-f(a) + f(a + f(-f(a) + f(a))))) = f(a + f(-f(a) + f(0))) = f(a + f(0)) = f(a), pero por otra parte, es igual a 3a \u2013 2f(a), por lo que 3f(a) = 3a, y por tanto f(a) = a.<\/p>\n<p>Es decir, que la \u00fanica funci\u00f3n que puede que cumpla la condici\u00f3n es f(x) = x. Es sencillo ver que, en efecto, la cumple.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 8 de la Fase Local de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2023 (s\u00e1bado) Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Encuentra todas las funciones reales de variable real que cumplen que f(x + f(y + f(x + f(y + f(x))))) = 3x + 2y para cualesquiera x, y. Soluci\u00f3n:<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2242021,1738,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-2800","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiada-matematica-espanola","category-olimpiadas","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2800","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2800"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2800\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2801,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2800\/revisions\/2801"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2800"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2800"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2800"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}