{"id":2828,"date":"2023-04-21T06:01:08","date_gmt":"2023-04-21T06:01:08","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2828"},"modified":"2023-07-01T17:10:43","modified_gmt":"2023-07-01T17:10:43","slug":"solucion-a-ecuaciones","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2023\/04\/21\/solucion-a-ecuaciones\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a ecuaciones"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 1 del nivel B de la Fase Comarcal de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana\r\nSe dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Averigua el valor de x, y, y z en la expresi\u00f3n x\u00b2 + y\u00b2 + z\u00b2 = x \u2013 z = 2.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-2825\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2023\/04\/293.Ecuaciones.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2023\/04\/293.Ecuaciones.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2023\/04\/293.Ecuaciones-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nHay una forma de intuir la soluci\u00f3n, incluso de demostrar que es correcta.<\/p>\n<p>Observa que x\u00b2 + y\u00b2 + z\u00b2 siempre es un n\u00famero positivo, de forma que x, y, y z deben estar acotados, ya que suman 2. El mayor valor que pueden tener es ra\u00edz de 2, con signo positivo (y el menor, ra\u00edz de 2 con signo negativo). Seguro que hay una soluci\u00f3n en la que x y z est\u00e1n a la misma distancia del cero, si ambos valen 1 al cuadrado, es decir, que z vale 1 y x vale -1, ya que la diferencia es 2 y la suma de sus cuadrados es 2. En ese caso, y vale 0. es la \u00fanica soluci\u00f3n porque si hubiese una soluci\u00f3n en la que y\u00b2 fuese distinto de cero, eso significar\u00eda que x\u00b2 + z\u00b2 deber\u00eda ser menor que 2, y eso es imposible, pues su diferencia es 2, y uno de ellos debe ser positivo y otro negativo, ya que (x \u2013 z)\u00b2 = 4, y x\u00b2 + z\u00b2 = 4 + 2xz &lt; 2 implica que 2xz &lt; -2, es decir, que xz &lt; -1. Pero z = x + 2, por lo que x\u00b2 + 2x &lt; -1 y por tanto x\u00b2 + 2x + 1 &lt; 0 , y (x + 1)\u00b2 = x\u00b2 + 2x + 1 siempre es positivo.<\/p>\n<p>Otra forma de llegar a la misma conclusi\u00f3n es m\u00e1s algebraica. Sustituyendo z por x + 2 en la primera igualdad. Llegamos a que x\u00b2 + y\u00b2 + (x + 2)\u00b2 = (x + 2) \u2013 x.<\/p>\n<p>De esta forma, tenemos, quitando par\u00e9ntesis, que x\u00b2 + y\u00b2 + x\u00b2 + 4x + 4 = x + 2 \u2013 x, lo que nos lleva a la ecuaci\u00f3n 2x\u00b2 + 4x + 2 + y\u00b2 = 0.<br \/>\nSi vemos esto como una ecuaci\u00f3n de segundo grado en x, en la que el coeficiente de x\u00b2 es 2, el coeficiente de x es 4 y el t\u00e9rmino independiente es 2 + y\u00b2, entonces, aplicando la f\u00f3rmula, tenemos que x = (- 4 +- ra\u00edz (16 \u2013 4\u00b72\u00b7(2 + y\u00b2)))\/4 = (-4 +- ra\u00edz(16 \u2013 16 \u2013 8y\u00b2))\/4 = (-4 +-ra\u00edz(-8y\u00b2))\/4.<\/p>\n<p>Pero para poder calcular x, necesitamos que la ra\u00edz cuadrada se calcule sobre un n\u00famero no negativo, y -8y\u00b2 por tanto debe ser 0, es decir, la \u00fanica soluci\u00f3n posible para y es que sea 0. En ese caso, x = -4\/4 = -1, y por tanto z = 1. S\u00f3lo tenemos, por tanto, esa soluci\u00f3n, (-1, 0, 1).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 1 del nivel B de la Fase Comarcal de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana Se dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os Averigua el valor de x, y, y z en la expresi\u00f3n x\u00b2 + y\u00b2 + z\u00b2 = x \u2013 z = 2. 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