{"id":284,"date":"2017-12-09T15:30:21","date_gmt":"2017-12-09T15:30:21","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=284"},"modified":"2018-09-15T07:01:09","modified_gmt":"2018-09-15T07:01:09","slug":"a-un-cuadrilatero-en-un-paralelogramo-s","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2017\/12\/09\/a-un-cuadrilatero-en-un-paralelogramo-s\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a un cuadril\u00e1tero en un paralelogramo"},"content":{"rendered":"
Canguro matem\u00e1tico (nivel 3) 2017\r\nSe dirige a una edad de: 14 a\u00f1os<\/pre>\n
ABCD es un paralelogramo.\"\"<\/p>\n
El punto O es la intersecci\u00f3n de las diagonales del paralelogramo. El punto M est\u00e1 en el lado DC. El punto de intersecci\u00f3n de BM y AC es F. La suma de las \u00e1reas de los tri\u00e1ngulos AED y BFC es 1\/3 del \u00e1rea S del paralelogramo.<\/p>\n
\u00bfCu\u00e1nto vale el \u00e1rea del cuadril\u00e1tero EOFM, en funci\u00f3n de S?<\/p>\n
Puesto que el concurso es de respuesta cerrada, se nos ofrec\u00edan cuatro alternativas, S\/6, S\/8, S\/10, S\/12 y S\/14.<\/p>\n
Soluci\u00f3n:<\/p>\n
Este problema fue el m\u00e1s dif\u00edcil del nivel 3 del curso pasado. En realidad, la dificultad reside en que cuesta mucho poner un ejemplo y empezar a trabajar sobre \u00e9l, y que el tiempo del que disponemos es escaso en un concurso como \u00e9ste, de velocidad.<\/p>\n
La clave del problema consiste en descomponer el \u00e1rea total del cuadril\u00e1tero en piezas de la misma \u00e1rea, o que de alguna forma se puedan comparar.<\/p>\n
Primero, visualicemos el \u00e1rea que se nos dice que es 1\/3.<\/p>\n
\"\"<\/p>\n
Destaca que nuestro objetivo forma parte del tri\u00e1ngulo que ocupa la parte central, ABM, que remarcamos en nuestra segunda imagen.
\n\"\"<\/p>\n
Es sencillo ver que este tri\u00e1ngulo ABM tiene un \u00e1rea que es la mitad del paralelep\u00edpedo, ya que su base y su altura son id\u00e9nticas. Por lo tanto, sumadas entre s\u00ed, ocupar\u00edan S\/2 + S\/3 = 3S\/6 + 2S\/6 = 5S\/6.<\/p>\n
Por lo tanto, la diferencia entre la suma de estas dos \u00e1reas y el total, ser\u00edan el par de tri\u00e1ngulos DEM y CFM, que tendr\u00edan una extensi\u00f3n de S\/6. (ver tercera figura).
\n\"\"<\/p>\n
Pero el cuadril\u00e1tero EOFM que buscamos, unido a la pieza que tenemos, forma el tri\u00e1ngulo DCO.
\n\"\"<\/p>\n
Y est\u00e1 claro que este tri\u00e1ngulo ocupa la cuarta parte del paralelogramo. Por lo tanto, nuestro cuadril\u00e1tero tiene una extensi\u00f3n de S\/4 \u2013 S\/6 = 3S\/12 \u2013 2S\/12 = S\/12, que era la cuarta de las sugerencias.<\/p>\n
\"\"<\/p>\n
Para terminar, se puede observar que se podr\u00eda haber empezado por pensar en un \u00e1rea concreta (por ejemplo, 24 unidades, para poder proceder m\u00e1s r\u00e1pido a sumar las fracciones.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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