{"id":2966,"date":"2023-08-05T18:35:43","date_gmt":"2023-08-05T18:35:43","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2966"},"modified":"2023-08-05T18:35:43","modified_gmt":"2023-08-05T18:35:43","slug":"solucion-a-numeros-cabulosos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2023\/08\/05\/solucion-a-numeros-cabulosos\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a n\u00fameros cabulosos"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 2 del primer nivel de la Olimpiada de Mayo 2023\r\nSe dirige a una edad de: 11-12 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Decimos que un n\u00famero de cuatro d\u00edgitos abcd es cabuloso si el n\u00famero a\u2074 + b\u00b3 + c\u00b2 + d es igual al n\u00famero de dos d\u00edgitos cd.<\/p>\n<p>Por ejemplo, 2023 es cabuloso, pues 2\u2074 + 0\u00b3 + 2\u00b2 + 3 = 23.<\/p>\n<p>\u00bfCu\u00e1ntos n\u00fameros cabulosos hay?<\/p>\n<p>Aclaraci\u00f3n. a\u2074 es el resultado de multiplicar 4 veces el n\u00famero a, por ejemplo, 3\u2074 = 3\u00b73\u00b73\u00b73 = 81.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-2964\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2023\/07\/309.Cabulosos.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2023\/07\/309.Cabulosos.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2023\/07\/309.Cabulosos-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nLa potencia m\u00e1s alta es la primera cifra elevada a 4, que s\u00f3lo puede ser un n\u00famero entre 1 y 3, ya que 4\u2074 = 256, y tiene ya 3 cifras.<\/p>\n<p>La expresi\u00f3n habitual de los \u00faltimos dos d\u00edgitos es 10c + d<\/p>\n<p>Si trat\u00e1semos de encontrar un n\u00famero cabuloso que empezase por 1, nos debemos centrar en que 1 + b\u00b3 + c\u00b2 + d = 10c + d, es decir, que 1 + b\u00b3 + c\u00b2 = 10c, 1 + b\u00b3 = (10 \u2013 c) c. Es suficiente probar los n\u00fameros enteros c posibles, en los que (10 \u2013 c)c puede dar, respectivamente, 0, 9, 16, 21, 24, 25 y los mismos valores para los siguientes d\u00edgitos, 24, 21, 16 y 9. De todos ellos, s\u00f3lo 9 da un cubo al restarle 1, por lo que los posibles valores ser\u00edan<br \/>\n1210, 1211, 1212, 1213, 1214, 1215, 1216, 1217, 1218 y 1219, pero tambi\u00e9n 1290 y los 9 siguientes.<\/p>\n<p>En segundo lugar, buscar un n\u00famero cabuloso que empiece por 2, tendr\u00edamos que 16 + b\u00b3 + c\u00b2 + d = 10c + d, por lo que de nuevo tendr\u00edamos b\u00b3 = (10 \u2013 c)c \u2013 16. Puesto que no puede ser negativo, tendremos que estudiar s\u00f3lo los valores en los que la expresi\u00f3n (10 \u2013 c)c \u2013 16 es positiva, pero los \u00fanicos valores mayores que 16 son 16, 21, 24 y 25, y las diferencias con 16 ser\u00edan 0, 5, 8 y 9, con lo que los \u00fanicos cubos ser\u00edan 0 y 8, con lo que tendr\u00edamos los n\u00fameros 2020 y los 9 siguientes, 2240 y los 9 siguientes, 2260 y los 9 siguientes y 2080 y los 9 siguientes.<\/p>\n<p>Pero no hay ning\u00fan n\u00famero cabuloso que empiece por 3, ya que en ese caso, deber\u00eda cumplirse que 81 + b\u00b3 + c\u00b2 + d = 10c + d, por lo que b\u00b3 = (10 \u2013 c)c \u2013 81, y la expresi\u00f3n (10 \u2013 c)c no puede alcanzar valores superiores a 25.<\/p>\n<p>Por tanto ser\u00edan esos todos los n\u00fameros posibles, un total de 60.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 2 del primer nivel de la Olimpiada de Mayo 2023 Se dirige a una edad de: 11-12 a\u00f1os Decimos que un n\u00famero de cuatro d\u00edgitos abcd es cabuloso si el n\u00famero a\u2074 + b\u00b3 + c\u00b2 + d es igual al n\u00famero de dos d\u00edgitos cd. 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