{"id":2978,"date":"2023-08-19T19:53:41","date_gmt":"2023-08-19T19:53:41","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2978"},"modified":"2023-08-19T20:01:37","modified_gmt":"2023-08-19T20:01:37","slug":"solucion-a-el-area-de-un-triangulo-2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2023\/08\/19\/solucion-a-el-area-de-un-triangulo-2\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a el \u00e1rea del tri\u00e1ngulo"},"content":{"rendered":"
Problema 3 del primer nivel de la Olimpiada de Mayo 2023\r\nSe dirige a una edad de: 11-12 a\u00f1os<\/pre>\n
Sobre una recta l hay cuatro puntos, A, B, C y D en ese orden, tales que AB = BC = CD.<\/p>\n
Se elige un punto E fuera de la recta l de modo que al trazar los segmentos EB y EC se forme un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero EBC.<\/p>\n
A continuaci\u00f3n se trazan los segmentos EA y ED y se elige un punto F de modo que al trazar los segmentos FA y FE se forme un tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero FAE exterior al tri\u00e1ngulo EAD.<\/p>\n
Por \u00faltimo se trazan las rectas EB y FA, que se cortan en el punto G.<\/p>\n
Si el \u00e1rea del tri\u00e1ngulo EBD es 10, calcula el \u00e1rea del tri\u00e1ngulo EFG.
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nLo m\u00e1s dif\u00edcil es hacer el dibujo siguiendo las instrucciones. Aqu\u00ed tenemos el dibujo, y observamos que se puede intuir que el tri\u00e1ngulo EBD y el EFG son semejantes, de forma que es posible, encontrando la raz\u00f3n de semejanza, calcular el \u00e1rea de uno conociendo la del otro.
\n\"\"
\nEn primer lugar hay que mostrar que en efecto son semejantes, y despu\u00e9s calcular la proporci\u00f3n.<\/p>\n
Antes de su semejanza, podemos apreciar que EBD parece un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo, pero \u00bflo es realmente?
\n\"\"
\nUna manera en que yo lo veo es hacer la construcci\u00f3n con una medida concreta, y comprobar que EBD cumple el Teorema de Pit\u00e1goras. Por eso es rect\u00e1ngulo.<\/p>\n
Si a\u00f1adimos el punto medio entre B y C, que le he llamado J, y elegimos la distancia entre A y B como 2 unidades, la distancia entre B y J es 1, y la distancia entre B y E, por construcci\u00f3n es 2, as\u00ed que la distancia entre E y J es la ra\u00edz cuadrada de 3, y es perpendicular EJ a la recta l.<\/p>\n
Aplicando el Teorema de Pit\u00e1goras, los catetos miden 3 y ra\u00edz de 3, as\u00ed que la distancia entre E y D es de ra\u00edz de 12.<\/p>\n
Ahora que tenemos los tres lados, EB = 2, BD = 4 y ED = ra\u00edz de 12,  comprobamos que 12 + 2\u00b2 = 4\u00b2, es decir, que efectivamente es un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo.<\/p>\n
Claramente el \u00e1ngulo recto BED se divide en 3 \u00e1ngulos de 30 grados (los dos que forman el tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero y la diferencia.<\/p>\n
Por simetr\u00eda, el \u00e1ngulo BEA tambi\u00e9n mide 30, y al a\u00f1adirle el tri\u00e1ngulo equil\u00e1tero AEF, vemos que tambi\u00e9n es rect\u00e1ngulo el tri\u00e1ngulo EFG, y tambi\u00e9n tiene un \u00e1ngulo agudo de 60 grados.<\/p>\n
En cuanto a la proporci\u00f3n, vemos que el segmento EB debe ser proporcional al segmento EF. En lo que hemos calculado, EB mide 2 unidades, y EB mide lo mismo que EA y ED, ra\u00edz de 12.<\/p>\n
Por lo tanto la proporci\u00f3n ser\u00e1 de ra\u00edz de 12 partido por 2, que es ra\u00edz de 3, por lo que el \u00e1rea ser\u00e1 3 veces m\u00e1s grande (tanto la base como la altura se multiplicar\u00e1n por este factor ra\u00edz de 3), as\u00ed que el \u00e1rea real de EFG ser\u00e1 3\u00b710 = 30.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Problema 3 del primer nivel de la Olimpiada de Mayo 2023 Se dirige a una edad de: 11-12 a\u00f1os Sobre una recta l hay cuatro puntos, A, B, C y D en ese orden, tales que AB = BC = CD. Se elige un punto E fuera de la recta l de modo que al […]<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2242027,1738,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-2978","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-mayo","category-olimpiadas","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2978","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2978"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2978\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2986,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2978\/revisions\/2986"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2978"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2978"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2978"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}