{"id":2987,"date":"2023-08-27T11:57:19","date_gmt":"2023-08-27T11:57:19","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=2987"},"modified":"2023-08-27T11:57:19","modified_gmt":"2023-08-27T11:57:19","slug":"solucion-a-borrando-numeros","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2023\/08\/27\/solucion-a-borrando-numeros\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a borrando n\u00fameros"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 3 del segundo nivel de la Olimpiada de Mayo 2023\r\nSe dirige a una edad de: 13-14 a\u00f1os<\/pre>\n<p>En el pizarr\u00f3n est\u00e1n escritos los 49 n\u00fameros 2, 3, 4, . . . , 49, 50.<\/p>\n<p>Una operaci\u00f3n permitida consiste en elegir dos n\u00fameros distintos a y b del pizarr\u00f3n tales que a sea m\u00faltiplo de b y borrar exactamente uno de los dos.<\/p>\n<p>Mar\u00eda hace una secuencia de operaciones permitidas hasta que observa que ya no es posible hacer ninguna m\u00e1s.<\/p>\n<p>Determinar la m\u00ednima cantidad de n\u00fameros que pueden quedar en el pizarr\u00f3n en ese momento.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-2984\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2023\/08\/312.Borrando.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"301\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2023\/08\/312.Borrando.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2023\/08\/312.Borrando-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nInicialmente, podemos pensar que quedar\u00e1n los n\u00fameros primos, pero algunos n\u00fameros primos podemos eliminarlos, si tienen un m\u00faltiplo com\u00fan con otro n\u00famero primo.<\/p>\n<p>Por ejemplo, podemos eliminar con el 2 todos los n\u00fameros pares, excepto el 6, seleccionar el 2 y el 6 para eliminar el 2 y despu\u00e9s eliminar el 6 con el 3. De esta forma, eliminaremos todos los n\u00fameros pares, incluyendo el propio 2.<\/p>\n<p>Sin embargo, hay n\u00fameros primos en el conjunto inicial que no dividen a ning\u00fan otro n\u00famero, y que por lo tanto no podr\u00e1n ser eliminados. Concretamente, el 29, el 31, el 37, el 41, el 43 y el 47 no se podr\u00edan eliminar de ninguna forma.<\/p>\n<p>Todos los dem\u00e1s n\u00fameros es posible eliminarlos de alguna forma, pero habr\u00e1 uno que deber\u00e1 quedarse sin ser eliminado. Por ejemplo, podemos eliminar 23 con 46, y despu\u00e9s 46 con el 2.<\/p>\n<p>Sucesivamente, podremos eliminar todos los primos en orden decreciente, hasta llegar a eliminar a todos sus m\u00faltiplos. Por ejemplo, cuando no queden m\u00faltiplos de primos entre 11 y 29, eliminamos todos los m\u00faltiplos de 11 usando el propio 11, excepto el 22. Con el 22, eliminamos el 11, y con el 2, eliminamos el 22.<\/p>\n<p>De esa forma, eliminaremos todos los n\u00fameros entre 2 y 28, de forma que s\u00f3lo quedar\u00e1 uno (podemos elegir cu\u00e1l es el n\u00famero que queda, pero no podremos evitar que quede uno, pues no divide ni es dividido por ninguno de los otros que quedan).<\/p>\n<p>Por tanto la cantidad m\u00ednima de n\u00fameros que quedan es 7.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 3 del segundo nivel de la Olimpiada de Mayo 2023 Se dirige a una edad de: 13-14 a\u00f1os En el pizarr\u00f3n est\u00e1n escritos los 49 n\u00fameros 2, 3, 4, . . . , 49, 50. 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