{"id":3014,"date":"2023-09-09T16:36:39","date_gmt":"2023-09-09T16:36:39","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=3014"},"modified":"2023-09-09T16:36:39","modified_gmt":"2023-09-09T16:36:39","slug":"solucion-a-doblando-un-rectangulo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2023\/09\/09\/solucion-a-doblando-un-rectangulo\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a doblando un rect\u00e1ngulo"},"content":{"rendered":"
Problema 4 del segundo nivel de la Olimpiada de Mayo 2023\r\nSe dirige a una edad de: 13-14 a\u00f1os<\/pre>\n
Mat\u00edas tiene una hoja de papel rectangular ABCD, con AB < AD.<\/p>\n
Inicialmente, \u00e9l dobla la hoja a lo largo de una recta AE, donde E es un punto sobre el lado DC, de modo que el v\u00e9rtice D quede ubicado sobre el lado BC, como muestra la figura.<\/p>\n
Luego dobla nuevamente la hoja a lo largo de una recta AF, donde F es un punto sobre el lado BC, de modo que el v\u00e9rtice B quede sobre la recta AE; y finalmente dobla la hoja a lo largo de la recta EF.<\/p>\n
Mat\u00edas observ\u00f3 que los v\u00e9rtices B y C quedaron ubicados sobre un mismo punto del segmento AE despu\u00e9s de hacer los dobleces.<\/p>\n
Calcular la medida del \u00e1ngulo DAE.
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nSe trata de un problema bastante complejo, que debemos abordar teniendo en cuenta todas las dobleces a la vez, ya que al final los puntos B y C, una vez doblados, deben coincidir.
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\nSi nos fijamos en el trapecio rect\u00e1ngulo que queda despu\u00e9s de la primera doblez, las otras dos dobleces sit\u00faan B y C sobre el mismo punto, de forma que tenemos dos tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos m\u00e1s grandes iguales y dos peque\u00f1os iguales. Si nos fijamos, estos cuatro tri\u00e1ngulos suman 180\u00ba, y en el punto F est\u00e1n duplicados ambos \u00e1ngulos, con lo que ambos \u00e1ngulos suman 90\u00ba, es decir, una vez doblado el tri\u00e1ngulo es rect\u00e1ngulo.<\/p>\n
Eso nos sugiere que el punto F podr\u00eda ser el mismo que P, pero cuesta un poco ver que efectivamente es el mismo.
\n\"\"
\nLa \u00fanica estrategia que he visto es emplear la circunferencia que pasa por los tres puntos, que por ser rect\u00e1ngulo, su centro est\u00e1 sobre la hipotenusa, y divide al segmento en dos partes iguales. Eso quiere decir que desde ese centro, la circunferencia va a cortar dos veces al segmento AB, y por tanto se produce una simetr\u00eda respecto al segmento AF que hace que el radio que va al punto F desde el centro de la circunferencia sea paralelo a AB, es decir, perpendicular a BC, luego la circunferencia es tangente a BC, y por eso el F es el \u00fanico punto de BC que forma un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo con AE, por lo que inevitablemente debe coincidir con P.<\/p>\n
Por lo tanto, los tres \u00e1ngulos que se forman en A ser\u00e1n iguales, y por lo tanto el \u00e1ngulo que buscamos debe ser de 30 grados.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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