{"id":3023,"date":"2023-09-16T10:29:14","date_gmt":"2023-09-16T10:29:14","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=3023"},"modified":"2023-09-16T10:29:14","modified_gmt":"2023-09-16T10:29:14","slug":"solucion-a-numeros-en-cajas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2023\/09\/16\/solucion-a-numeros-en-cajas\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a n\u00fameros en cajas"},"content":{"rendered":"
Problema 5 del primer nivel de la Olimpiada de Mayo 2023\r\nSe dirige a una edad de: 11-12 a\u00f1os<\/pre>\n
Se tienen 100 cajas que se etiquetaron con los n\u00fameros 00, 01, 02, …, 99. En mil tarjetas se escribieron los n\u00fameros 000, 001, 002, …, 999, uno en cada tarjeta.<\/p>\n
Est\u00e1 permitido colocar una tarjeta en una caja si el n\u00famero de la caja se puede obtener al eliminar uno de los d\u00edgitos del n\u00famero de la tarjeta. Por ejemplo, est\u00e1 permitido colocar la tarjeta 037 en la caja 07, pero no est\u00e1 permitido colocar la tarjeta 156 en la caja 65.<\/p>\n
\u00bfPuede ocurrir que luego de colocar todas las tarjetas en las cajas, haya exactamente 50 cajas vac\u00edas?<\/p>\n
Si la respuesta es s\u00ed, indicar c\u00f3mo se colocan las tarjetas en las cajas; si la respuesta es no, explicar por qu\u00e9 es imposible.
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:
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\nEn este tipo de problemas es muy dif\u00edcil manejar n\u00fameros tan grandes, conviene practicar con una colecci\u00f3n m\u00e1s peque\u00f1a. Por ejemplo, podemos ensayar con los n\u00fameros de caja 00, 01, 02, 03, 10, \u2026, 33, usando s\u00f3lo 3 d\u00edgitos, 16 cajas, y los de las tarjetas 000 a la 333 (64 tarjetas).<\/p>\n
Est\u00e1 clara que la pregunta aqu\u00ed se reduce a estudiar si podemos dejar 8 cajas vac\u00edas o no.<\/p>\n
Lo primero, hay 4 tarjetas que no queda m\u00e1s remedio que entren en una caja determinadas, 000, 111, 222, 333, que obligatoriamente usar\u00e1n 00, 11, 22, y 33.<\/p>\n
Podemos meter los n\u00fameros con dos cifras repetidas en esas que ya tienen relleno, y s\u00f3lo nos quedan los n\u00fameros con las tres cifras diferentes, 012, 013, 021, 023, 031, 032, 102, 103, etc\u00e9tera (24 tarjetas).<\/p>\n
Supongamos que usamos la caja 01 para guardar todos los que llevan un 0 y un 1 en ese orden. La clave es usar tambi\u00e9n la 10, y s\u00f3lo nos quedar\u00e1n los que NO llevan un 0 y un 1. Por eliminaci\u00f3n, si no llevan a la vez un 0 y un 1, llevan un 2 y un 3, por lo que podemos repartir los dem\u00e1s en las cajas 23 y 32, as\u00ed que la respuesta es que s\u00ed en este contexto.<\/p>\n
Pasemos al problema completo y extendamos este m\u00e9todo.<\/p>\n
Tenemos que meter todas las tarjetas en 50 cajas. <\/p>\n
Diez de ellas ser\u00e1n las que tienen n\u00fameros repetidos, y all\u00ed meteremos las que tienen un par de n\u00fameros repetidos.<\/p>\n
Las otras 40, las iremos poniendo de 2 en 2, la 01 y la 10, la 02 y la 20, la 12 y la 21, as\u00ed podemos usar las 20 tarjetas que usan los d\u00edgitos del 0 al 4 en cualquier orden (5\u00b74 = 20 cajas). Podremos guardar todas las tarjetas que tienen un par de n\u00fameros menores que 5, es decir que todos los dem\u00e1s tienen al menos 2 n\u00fameros mayores que 5, as\u00ed que usamos las otras 20 cajas que tienen las parejas de n\u00fameros entre el 5 y el 9 (de nuevo otras 20 cajas), y podremos guardar todas las tarjetas.<\/p>\n
Y para ver que no hay 51 cajas vac\u00edas, podemos buscar algunos n\u00famero concretos que entren en cada una de las cajas concretas que hemos citado (de hecho, es inevitable que todas las cajas tengan alguna tarjeta, por ejemplo en la caja 97 debemos meter el 197, porque ninguna de las otras cajas seleccionadas permite guardarla). Sin embargo, el 578 podemos guardarlo en 3 cajas distintas a nuestro gusto.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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