{"id":3029,"date":"2023-09-24T07:44:42","date_gmt":"2023-09-24T07:44:42","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=3029"},"modified":"2023-09-24T07:44:42","modified_gmt":"2023-09-24T07:44:42","slug":"solucion-a-el-juego-de-las-pilas-de-monedas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2023\/09\/24\/solucion-a-el-juego-de-las-pilas-de-monedas\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a el juego de las pilas de monedas"},"content":{"rendered":"
Problema 5 del segundo nivel de la Olimpiada de Mayo 2023\r\nSe dirige a una edad de: 13-14 a\u00f1os<\/pre>\n
Sobre la mesa hay 50 pilas de monedas que tienen 1, 2, 3, …, 50 monedas respectivamente.
\nAna y Beto juegan al siguiente juego por turnos.<\/p>\n
Primero, Ana elige una de las 50 pilas de la mesa, y Beto decide si esa pila es para Ana o para \u00e9l.<\/p>\n
Despu\u00e9s, Beto elige una de las 49 pilas restantes de la mesa, y Ana decide si esa pila es para ella o para Beto.<\/p>\n
Ellos contin\u00faan jugando alternadamente de esta manera hasta que uno de los jugadores tenga 25 pilas.<\/p>\n
Cuando eso ocurre, el otro jugador toma todas las pilas restantes de la mesa y el que tiene m\u00e1s monedas, gana.<\/p>\n
Determinar cu\u00e1l de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora.
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nEste problema es bastante complejo, por el n\u00famero de estrategias que se pueden ensayar, y lo complejo que puede ser probar que con esa estrategia se gana siempre.<\/p>\n
Como siempre en estos casos, vamos a simplificar mucho el juego, a ver si tenemos una imagen clara de la estrategia ganadora.<\/p>\n
Si s\u00f3lo hay dos pilas, con 1 y 2 monedas, la estrategia est\u00e1 muy clara, y permite ganar siempre al que no elige, ya que si Ana selecciona la pila de 1, se la queda Ana, mientras que si selecciona la de 2, se la queda \u00e9l. Eso le permite ganar.<\/p>\n
Supongamos que hay 4 pilas. Al elegir Ana una pila, est\u00e1 claro que si es muy peque\u00f1a, a Beto le interesa que se la quede Ana, y si es muy grande, qued\u00e1rsela \u00e9l. Sin embargo, puede llegar un empate si Ana repite lo mismo: supongamos que Ana elige la 2, y Beto decide que se la quede. Beto elige la 1, y Ana decide que se la quede Beto. Ahora, Ana elige la 3, y Beto decide que se la quede Ana, por lo que Ana tendr\u00e1 5 monedas (2 + 3) y Beto tambi\u00e9n (1 + 4).<\/p>\n
En el caso que nos ocupa, no puede darse un empate, ya que el total de monedas es impar (1 + 2 + \u2026 + 50 = 50\u00b751\/2 = 1275).<\/p>\n
Sin embargo, la idea con los primeros casos nos puede sugerir una estrategia ganadora por parte de Beto.<\/p>\n
Imaginemos que hay 6 pilas (que tambi\u00e9n suma un n\u00famero impar). La estrategia va a consistir en que, si Ana elige uno de los de la mitad m\u00e1s peque\u00f1a, se la va a quedar Ana, mientras que si elige uno de los de la mitad mayor, ser\u00e1 para Beto.<\/p>\n
A continuaci\u00f3n, Beto elige la pila que suma 7 con esa que ha elegido Ana, que Ana puede qued\u00e1rsela, o d\u00e1rsela a Beto.<\/p>\n
De esta forma, aunque las dos se las quede Ana, quedan una pareja que tambi\u00e9n suma 7 que acabar\u00e1n siendo para Beto, mientras que si le da ambas a Beto, pasa al contrario. Parece que van a acabar empatados, pero hay un n\u00famero impar de pasos, de forma que siempre habr\u00e1 una pareja de las que sumen 7 que se repartir\u00e1 a favor de Beto.<\/p>\n
Para las 50 pilas pasa algo similar, sumando siempre 51.<\/p>\n
Puede que haya otras estrategias, pero es mucho m\u00e1s complicado probar que conducen a una situaci\u00f3n ganadora.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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