{"id":3044,"date":"2023-10-07T17:11:57","date_gmt":"2023-10-07T17:11:57","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=3044"},"modified":"2023-10-07T17:12:23","modified_gmt":"2023-10-07T17:12:23","slug":"solucion-a-area-en-un-cuadrado","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2023\/10\/07\/solucion-a-area-en-un-cuadrado\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a \u00e1rea en un cuadrado"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 3 del concurso Olitele 2022\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Los puntos E, F, G y H son puntos del lado del cuadrado ABCD que cumplen AE = BF = CG = DH y, adem\u00e1s, AE = n\u00b7EB, donde n es un valor real positivo.<\/p>\n<p>\u00bfQu\u00e9 fracci\u00f3n del \u00e1rea del cuadrado ABCD representa el \u00e1rea del tri\u00e1ngulo sombreado?<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-3039\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2023\/10\/318.areacuadrado.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2023\/10\/318.areacuadrado.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2023\/10\/318.areacuadrado-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nHay varias maneras de abordar esto, pero la idea que me parece m\u00e1s sencilla es tratar de calcular el \u00e1rea de ese fragmento y el \u00e1rea de todo el cuadrado, para luego calcular la fracci\u00f3n.<\/p>\n<p>En nuestro caso, como hay que hacerlo en funci\u00f3n de n (a los participantes se les daba un valor de n diferente a cada uno), lo mejor es hacer que el segmento EB valga 1 (la unidad de medida lineal), y as\u00ed AE mide n y AB mide (n + 1), es decir, que el \u00e1rea del cuadrado ser\u00e1 (n + 1)\u00b2 o, si prefieres los polinomios, n\u00b2 + 2n + 1.<\/p>\n<p>Ahora bien, \u00bfC\u00f3mo calculamos el \u00e1rea de ese tri\u00e1ngulo?<\/p>\n<p>A m\u00ed se me ocurre buscar simetr\u00edas, y ver que el tri\u00e1ngulo est\u00e1 dividido en cuatro zonas que son cuadril\u00e1teros iguales, y la zona en la que est\u00e1 ese tri\u00e1ngulo est\u00e1 dividida en dos tri\u00e1ngulos, el que nos ocupa y otro rect\u00e1ngulo, el AEH.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2023\/10\/318.areacuadrado2.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" class=\"alignnone size-full wp-image-3045\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2023\/10\/318.areacuadrado2.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2023\/10\/318.areacuadrado2-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nEntonces, el \u00e1rea del cuadril\u00e1tero ser\u00eda (n + 1)\u00b2\/4, y como el \u00e1rea de AEH es el \u00e1rea de un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo, es muy f\u00e1cil ver que es el producto de sus catetos, n\/2.<\/p>\n<p>Resumiendo, el \u00e1rea de la zona sombreada originalmente ser\u00e1 (n + 1)\u00b2\/4 \u2013 n\/2. Para ponerlo en una misma fracci\u00f3n, ser\u00eda (n\u00b2 + 2n + 1)\/4 \u2013 2n\/4 = (n\u00b2 + 1)\/4.<\/p>\n<p>Y por tanto, el cociente que buscamos ser\u00e1 el resultado de dividir ambos n\u00fameros (en nuestro caso, expresiones polin\u00f3micas): (n\u00b2 + 1)\/(4n\u00b2 + 8n + 4), que por lo general no se puede simplificar.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 3 del concurso Olitele 2022 Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Los puntos E, F, G y H son puntos del lado del cuadrado ABCD que cumplen AE = BF = CG = DH y, adem\u00e1s, AE = n\u00b7EB, donde n es un valor real positivo. \u00bfQu\u00e9 fracci\u00f3n del \u00e1rea del cuadrado [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1738,2242014,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-3044","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiadas","category-olitele","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3044","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3044"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3044\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3047,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3044\/revisions\/3047"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3044"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3044"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3044"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}