{"id":3053,"date":"2023-10-14T12:07:03","date_gmt":"2023-10-14T12:07:03","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=3053"},"modified":"2023-10-14T12:07:03","modified_gmt":"2023-10-14T12:07:03","slug":"solucion-a-producto-de-factoriales","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2023\/10\/14\/solucion-a-producto-de-factoriales\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a producto de factoriales"},"content":{"rendered":"
Problema 4 del concurso Olitele 2022\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Antes de probar con este problema, deber\u00edamos saber que el factorial de un n\u00famero natural n, que se escribe n!, es n! = 1\u00b72\u00b73\u00b7\u2026\u00b7(n \u2013 1)\u00b7n.<\/p>\n
Consideremos el n\u00famero P, que se consigue de la siguiente manera: P = 1!\u00b72!\u00b73!\u00b7\u2026\u00b798!\u00b799!\u00b7100! (es decir, como el producto del factorial de los 100 primeros n\u00fameros).<\/p>\n
\u00bfCu\u00e1l es el valor del n\u00famero natural s para el cual Q = P\/(s!) es un cuadrado perfecto de un n\u00famero natural?
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nLa clave en este problema es probar lo que sucede con valores m\u00e1s peque\u00f1os, principalmente pares, y generalizar. Yo me centr\u00e9 muy pronto en estudiar si ten\u00eda el resultado una cantidad par o impar de factores primos (si tiene una cantidad par es un cuadrado perfecto, y si no, no).<\/p>\n
Imaginemos que estamos buscando c\u00f3mo es el n\u00famero 1!\u00b72!\u00b73!\u00b74!\u00b75!\u00b76!.<\/p>\n
Si contamos cu\u00e1ntos factores 5 tiene, tiene 2, sin embargo, tiene 7 factores 3 y 12 factores 2. Est\u00e1 claro que no es un cuadrado perfecto. Evidentemente no tiene primos mayores.<\/p>\n
Si buscamos qu\u00e9 factorial habr\u00eda que quitar para que fuese un cuadrado perfecto, Deber\u00edamos quitar alg\u00fan factor 3, por ejemplo podr\u00edamos tratar de hacerlo con el factorial de 3, de 4 o de 5 (el de 6 no nos conviene, ya que tiene dos factores 3, y seguir\u00eda teniendo una cantidad impar).<\/p>\n
Sin embargo, no nos interesa quitar ning\u00fan factor 5, por lo que nos quedamos con 3 o con 4. Pero ambos factoriales tienen una cantidad impar de factores 2, as\u00ed que no existe ning\u00fan factorial que al dividir por \u00e9l nos d\u00e9 un cuadrado perfecto.<\/p>\n
Probemos con 8 factoriales, se tratar\u00eda del n\u00famero 1!\u00b72!\u00b73!\u00b74!\u00b75!\u00b76!\u00b77!\u00b78!.<\/p>\n
Este n\u00famero s\u00ed tendr\u00eda dos factores 7, 4 factores 5, 9 factores 3 y nada menos que 23 factores 2. De nuevo debemos quitar al menos un factor 3 sin quitar ning\u00fan 5, volviendo al 3 o al 4, y ambos satisfacen la propiedad de quitar tambi\u00e9n una cantidad impar de doses.<\/p>\n
La idea es trabajar este m\u00e9todo para un n\u00famero tan grande como el que tenemos en el problema.<\/p>\n
Si consideramos los primos mayores que 50, tendremos que, por ser primos impares, aparecen una \u00fanica vez en cada factorial a partir de su n\u00famero correspondiente, aportando una cantidad par de factores a la factorizaci\u00f3n. Por tanto no debemos dividir por un n\u00famero mayor de 53.<\/p>\n
Sin embargo, el 47 aparece una cantidad impar de veces, por lo que deberemos quitarlo exactamente una vez. Eso limita el valor de s a 47, 48, 49, 50, 51, o 52.<\/p>\n
El 7 juega ahora un papel importante, habr\u00e1 que crear una estrategia de recuento y ver cu\u00e1ntas veces nos conviene extraerlo. El 7 aparece 1 vez entre 7 y 13, 2 veces a partir de 14 hasta 20, y as\u00ed sucesivamente. Podemos pensar que es 7\u00b7(1 + 2 + 3 + 4 +\u2026+ 13) hasta el 97, y luego a\u00f1adir 14\u00b73, pero nos olvidar\u00edamos entonces del factor extra que aparece a partir del 49, y otro m\u00e1s a partir del 98 (que es el doble de 49), lo que har\u00eda un total de 49 + 2\u00b73. En total, por tanto, sale un n\u00famero par de factores 7, de manera que debemos quitar un n\u00famero entre 49 y 52.<\/p>\n
Afinando poco a poco con todos los factores primos, llegu\u00e9 a la conclusi\u00f3n de que debe tratarse exclusivamente del valor 50, ya que es el \u00fanico factorial que tiene una cantidad adecuada de factores de cada primo. Sin embargo, es complicado hacer un conteo exhaustivo por este m\u00e9todo de todos los factores primos del n\u00famero.<\/p>\n
La idea alternativa para ver que funciona, es pensar que cada factorial se puede transformar en el anterior si le quitamos el \u00faltimo n\u00famero, de forma que n!\u00b7(n + 1)! = (n!)\u00b2\u00b7(n + 1).<\/p>\n
Si procedemos a quitar justo los pares hasta 100, tendr\u00edamos 1!\u00b2\u00b73!\u00b2\u00b7…\u00b799!\u00b2\u00b72\u00b74\u00b76\u00b7…\u00b798\u00b7100 = 1!\u00b2\u00b73!\u00b2\u00b7…\u00b799!\u00b2\u00b750!\u00b72\u2075\u2070. Evidentemente, si quitamos el factorial de 50, se trata de un cuadrado perfecto. <\/p>\n
Claro, que esto no prueba que si quitas alg\u00fan otro factorial no tengas tambi\u00e9n un cuadrado perfecto, para eso ser\u00eda necesario bajar a ver los factores individuales.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Problema 4 del concurso Olitele 2022 Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Antes de probar con este problema, deber\u00edamos saber que el factorial de un n\u00famero natural n, que se escribe n!, es n! = 1\u00b72\u00b73\u00b7\u2026\u00b7(n \u2013 1)\u00b7n. Consideremos el n\u00famero P, que se consigue de la siguiente manera: P = 1!\u00b72!\u00b73!\u00b7\u2026\u00b798!\u00b799!\u00b7100! (es […]<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1738,2242014,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-3053","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiadas","category-olitele","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3053","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3053"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3053\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3054,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3053\/revisions\/3054"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3053"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3053"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3053"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}