{"id":3060,"date":"2023-10-21T08:50:41","date_gmt":"2023-10-21T08:50:41","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=3060"},"modified":"2023-10-21T08:50:41","modified_gmt":"2023-10-21T08:50:41","slug":"solucion-a-circunferencias-concentricas","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2023\/10\/21\/solucion-a-circunferencias-concentricas\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a circunferencias conc\u00e9ntricas"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 5 del concurso Olitele 2022\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Se considera un dibujo con algunas circunferencias conc\u00e9ntricas y algunas rectas paralelas, y miramos el n\u00famero de intersecciones entre rectas y circunferencias, el plano queda descompuesto en algunas regiones seg\u00fan las posiciones relativas que tengan.<\/p>\n<p>La imagen muestra un par de situaciones con tres rectas y tres circunferencias: En la primera, el plano queda dividido en 20 regiones y en la segunda en 16.<\/p>\n<p>\u00bfCu\u00e1l es el m\u00e1ximo n\u00famero de regiones en que queda descompuesto el plano por c circunferencias conc\u00e9ntricas y r rectas paralelas?<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-3056\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2023\/10\/320.circunferencias.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2023\/10\/320.circunferencias.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2023\/10\/320.circunferencias-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nViendo las im\u00e1genes, es sencillo darse cuenta que cada circunferencia, dibujada antes de las l\u00edneas, aporta una nueva regi\u00f3n al plano, as\u00ed que una vez dibujadas las c circunferencias, el plano queda dividido en c + 1 regiones.<\/p>\n<p>Ahora, el n\u00famero de regiones en las que cada nueva l\u00ednea divide la plano no es siempre al mismo.<\/p>\n<p>El m\u00e1ximo se alcanza cuando es mayor el n\u00famero de intersecciones, y por tanto para alcanzarlo es necesario que todas las rectas corten a la circunferencia central.<\/p>\n<p>La primera recta a\u00f1adir\u00e1 c + 1 regiones, porque cortar\u00e1 a todas las circunferencias y separar\u00e1 al plano central, pero las regiones en todas las circunferencias est\u00e1n conectadas. Sin embargo, todas las dem\u00e1s l\u00edneas generar\u00e1n 2c + 1 regiones, ya que las nuevas zonas, tanto en el plano como en las circunferencias, estar\u00e1n divididas en dos partes, excepto en la circunferencia central.<\/p>\n<p>Por tanto, el n\u00famero m\u00e1ximo de regiones ser\u00e1 2c + 2 + (r \u2013 1)(2c + 1) = 2rc + r + 1.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2023\/10\/320.circunferencias2.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" class=\"alignnone size-full wp-image-3062\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2023\/10\/320.circunferencias2.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2023\/10\/320.circunferencias2-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nEn el caso del dibujo que tenemos de referencia se puede llegar a dividir en 22 regiones si todas las rectas cortan a la circunferencia central.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 5 del concurso Olitele 2022 Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Se considera un dibujo con algunas circunferencias conc\u00e9ntricas y algunas rectas paralelas, y miramos el n\u00famero de intersecciones entre rectas y circunferencias, el plano queda descompuesto en algunas regiones seg\u00fan las posiciones relativas que tengan. 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