{"id":3068,"date":"2023-10-28T06:31:30","date_gmt":"2023-10-28T06:31:30","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=3068"},"modified":"2023-10-28T06:31:30","modified_gmt":"2023-10-28T06:31:30","slug":"solucion-a-sucesion-de-fracciones","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2023\/10\/28\/solucion-a-sucesion-de-fracciones\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a sucesi\u00f3n de fracciones"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 6 del concurso Olitele 2022\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Se escribe la sucesi\u00f3n de fracciones siguiente:<\/p>\n<p>1\/1, 1\/2, 2\/2, 1\/2, 1\/3, 2\/3, 3\/3, 2\/3, 1\/3, 1\/4, 2\/4, 3\/4, 4\/4, 3\/4, 2\/4, 1\/4, \u2026<\/p>\n<p>\u00bfCu\u00e1nto suman las fracciones que est\u00e1n escritas con el mismo denominador que la que ocupa la posici\u00f3n n\u00famero 2022?<\/p>\n<p>Nota: para evitar otras posibles interpretaciones, decimos que el patr\u00f3n para construir la sucesi\u00f3n es el siguiente: se escriben todas las fracciones positivas menores que 1 de denominador n, y despu\u00e9s la fracci\u00f3n n\/n y a continuaci\u00f3n las mismas fracciones en orden decreciente. Y se retoma la escritura para el siguiente valor de n.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-3066\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2023\/10\/321.fracciones.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2023\/10\/321.fracciones.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2023\/10\/321.fracciones-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nNecesitamos estudiar la sucesi\u00f3n que nos marca cu\u00e1ntas fracciones hay para un valor de n determinado con n en el denominador. En cuanto piensas un poco, est\u00e1 claro que son 2n \u2013 1, ya que hay n fracciones menor o iguales que 1 con n en el denominador. Evidentemente, para cada denominador escribimos en la sucesi\u00f3n n + n \u2013 1 fracciones, por lo que el total de ese tipo de fracciones es n.<\/p>\n<p>Adem\u00e1s, cada una de estas colecciones suman n, ya que en el primer grupo y en el segundo podemos encontrar una fracci\u00f3n y la que suma 1 con ella (y la que es n\/n suma 1 sin necesidad de ninguna fracci\u00f3n m\u00e1s).<\/p>\n<p>Por lo tanto s\u00f3lo tenemos que saber qu\u00e9 denominador exactamente es el que tiene la fracci\u00f3n que ocupa la posici\u00f3n 2022 y tendremos la respuesta.<\/p>\n<p>Observamos que la forma de saber hasta qu\u00e9 posici\u00f3n hay fracciones de un denominador dado consiste en sumar los n\u00fameros totales de fracciones de los grupos anteriores.<\/p>\n<p>Es decir, denominador 1 s\u00f3lo hay en la primera fracci\u00f3n. Denominador 2 hay hasta la fracci\u00f3n 1 + 3 = 4, denominador 3, hasta la 1 + 3 + 5 = 9. Basta, por tanto, sumar la progresi\u00f3n aritm\u00e9tica 2n \u2013 1 para obtener el \u00faltimo n\u00famero para el que hay fracciones de un denominador dado (y en este caso es n\u00b7(1 + 2n \u2013 1)\/2 = n\u00b2.<\/p>\n<p>Por lo tanto, mediante la funci\u00f3n inversa, la ra\u00edz, podemos conocer en qu\u00e9 valores se va a cambiar de fracci\u00f3n. Puesto que la ra\u00edz cuadrada de 2022 es mayor que 44, sabemos que hasta la posici\u00f3n 44\u00b2 = 1936 tendremos fracciones de denominador 44, y a partir de 1937 tendremos denominador 45 hasta 45\u00b2 = 2025.<\/p>\n<p>Por lo tanto la respuesta es 45, que es lo que deben sumar las 89 fracciones de denominador 45.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 6 del concurso Olitele 2022 Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Se escribe la sucesi\u00f3n de fracciones siguiente: 1\/1, 1\/2, 2\/2, 1\/2, 1\/3, 2\/3, 3\/3, 2\/3, 1\/3, 1\/4, 2\/4, 3\/4, 4\/4, 3\/4, 2\/4, 1\/4, \u2026 \u00bfCu\u00e1nto suman las fracciones que est\u00e1n escritas con el mismo denominador que la que ocupa la posici\u00f3n [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1738,2242014,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-3068","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiadas","category-olitele","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3068","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3068"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3068\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3069,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3068\/revisions\/3069"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3068"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3068"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3068"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}