{"id":3074,"date":"2023-11-05T12:48:07","date_gmt":"2023-11-05T12:48:07","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=3074"},"modified":"2023-11-05T17:56:06","modified_gmt":"2023-11-05T17:56:06","slug":"solucion-a-triangulo-rectangulo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2023\/11\/05\/solucion-a-triangulo-rectangulo\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 7 del concurso Olitele 2022\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n<p>En el tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo AED de la figura, rect\u00e1ngulo en E, AB es la altura sobre la hipotenusa y EC es la bisectriz del \u00e1ngulo recto.<\/p>\n<p>Si se cumple que la raz\u00f3n de distancias entre AC y CD es 1:3, razona cu\u00e1l es la proporci\u00f3n entre las distancias de los tres segmentos AB, BC y CD en que ha quedado dividida la hipotenusa.<\/p>\n<p>Nota: seguramente no es la \u00fanica manera de enfocar el problema, pero puede ser interesante que se comience por calcular la relaci\u00f3n de distancias AB:BD.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-3072\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2023\/10\/321.triangulo.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2023\/10\/321.triangulo.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2023\/10\/321.triangulo-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nNo he hecho mucho caso a la sugerencia, y seguramente hay formas de enfocarlo mejor, pero voy a dar mi respuesta.<\/p>\n<p>Lo que he hecho es situar unas medidas concretas, una unidad en AC y tres unidades en CD. A partir de ah\u00ed, tratar de calcular el valor de AB.<\/p>\n<p>Puesto que el segmento EC es bisectriz, divide el \u00e1ngulo de 90\u00ba en dos de 45\u00ba.<\/p>\n<p>Al ser un tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo, podemos poner que AE\u00b2 + ED\u00b2 = 16, ya que AD mide AC + CD.<\/p>\n<p>En el tri\u00e1ngulo AEC, tenemos un \u00e1ngulo y un lado, podemos aplicar el teorema de los senos, ya que tenemos el seno del \u00e1ngulo ECA, 45\u00ba, cuyo seno es ra\u00edz(2)\/2, y el seno del \u00e1ngulo CAE, que pertenece al tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo, por lo que es ED\/4. El lado AC mide cuatro, por lo que tenemos que ra\u00edz(2)\/2 = ED\/(4EC).<\/p>\n<p>Aplicando algo similar en el tri\u00e1ngulo ECD, tendremos que ra\u00edz(2)\/6 = AE\/(4EC).<\/p>\n<p>Con esto, podemos poner AE y ED ambos en funci\u00f3n de EC, ya que de la primera igualdad tendremos que ED = 2raiz(2)EC, mientras que de la segunda tendremos que AE = 2ra\u00edz(2)EC\/3.<\/p>\n<p>Puesto que la relaci\u00f3n que combina AE y ED los expresa al cuadrado, vamos a elevar al cuadrado estas relaciones, obteniendo que ED\u00b2 = 8EC\u00b2, y que AE\u00b2 = 8EC\u00b2\/9.<\/p>\n<p>Por tanto 8EC\u00b2 + 8EC\u00b2\/9 = 16, por lo que EC\u00b2 + EC\u00b2\/9 = 2, y por tanto 9EC\u00b2 + EC\u00b2 = 18. De todo esto deducimos que EC\u00b2 = 18\/10 = 9\/5.<\/p>\n<p>As\u00ed, tenemos que EC = 3\/ra\u00edz(5) = 3ra\u00edz(5)\/5. Por tanto, AE = 2ra\u00edz(10)\/5 y ED = 6ra\u00edz(10)\/5.<\/p>\n<p>Usando los tres lados del tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo, podemos tener todas las razones trigonom\u00e9tricas de los dos \u00e1ngulos del tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo AED, y como coincide con uno del tri\u00e1ngulo AEB, vemos que AB = cos(BAE)\u00b7AE = (AE\/4)\u00b7AE = AE\u00b2\/4 = 40\/100 = 4\/10 =0,4 y, claro, BC = 1 \u2013 0,4 = 0,6.<\/p>\n<p>Puesto que las proporciones suelen representarse con n\u00fameros enteros, representaremos la proporci\u00f3n 0,4;0,6:3 multiplicada por 5 (que es equivalente a que hubi\u00e9semos tomado tama\u00f1os 5 veces mayores en el trabajo inicial), como 2:3:15 como proporci\u00f3n entre AB, BC y CD.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 7 del concurso Olitele 2022 Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os En el tri\u00e1ngulo rect\u00e1ngulo AED de la figura, rect\u00e1ngulo en E, AB es la altura sobre la hipotenusa y EC es la bisectriz del \u00e1ngulo recto. 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