{"id":3091,"date":"2023-11-18T21:07:22","date_gmt":"2023-11-18T21:07:22","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=3091"},"modified":"2023-11-18T21:07:22","modified_gmt":"2023-11-18T21:07:22","slug":"solucion-a-igualdad-de-fracciones","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2023\/11\/18\/solucion-a-igualdad-de-fracciones\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a igualdad de fracciones"},"content":{"rendered":"
Problema 10 del concurso Olitele 2022\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Si a, b y c son tres n\u00fameros reales diferentes de cero que cumplen la siguiente igualdad:<\/p>\n
(a + b)\/c = (b + c)\/a = (c + a)\/b = R<\/p>\n
\u00bfQu\u00e9 valor o valores reales puede tener R?<\/p>\n
Si para un cierto valor de K (n\u00famero real diferente de cero) existen tres n\u00fameros reales diferentes de cero a, b y c tales que<\/p>\n
(a + Kb)\/c = (b + Kc)\/a = (c + Ka)\/b = S<\/p>\n
\u00bfPara qu\u00e9 valores de K resulta que S puede tener un \u00fanico valor?<\/p>\n
\u00bfCu\u00e1l es ese valor de S (y c\u00f3mo depende de K)?
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nVayamos por el primer apartado.<\/p>\n
De la colecci\u00f3n de igualdades, tenemos que (a + b)\/c = R, de forma que a + b = Rc. De la misma forma, tenemos que b + c = Ra, y que c + a = Rb.<\/p>\n
Por lo tanto, se deber\u00eda dar la igualdad si sumamos las tres igualdades, y al ser tan sim\u00e9tricas, tendr\u00edamos que 2a + 2b + 2c = R(a + b + c).<\/p>\n
Eso quiere decir que o bien (a + b + c) vale 0, o bien R = 2.<\/p>\n
Si R = 2, tenemos que a + b = 2c, por lo que a = 2c \u2013 b. Sin embargo, entonces c + b = 2a = 4c \u2013 2b,  pero en ese caso tenemos que 3b = 3c, por lo que b = c, y adem\u00e1s a = 2c \u2013 c = c, por lo que a, b y c son iguales.<\/p>\n
Por lo tanto tenemos que a + b + c = 0. Eso quiere decir que a + b = -c y por tanto R debe valer -1, ya que (a + b) \/c = -1 (y las otras fracciones son iguales).<\/p>\n
En definitiva, R vale -1, o bien R = 2 ( en el caso en que sean todos iguales).<\/p>\n
Tomemos ahora el segundo apartado.<\/p>\n
Claramente, K no vale 1, porque en ese caso S puede tener dos valores.<\/p>\n
Sin embargo, suponiendo que la K no vale 1, llegaremos a que S debe valer K + 1, y encontraremos unos valores en los que esto suceda.<\/p>\n
De manera an\u00e1loga, tenemos que a + Kb = Sc, b + Kc = Sa, y c + Ka = Sb, por lo que (a + b + c) + K(a + b + c) = S(a + b + c). Si a + b + c no vale 0, claramente S = 1 + K.<\/p>\n
\u00bfQu\u00e9 sucede si a + b + c = 0? Pues no se puede dar la igualdad, ya que a + Kb = a + b + (K \u2013 1)b, por lo que (a + Kb)\/c = (-c + (K \u2013 1)b)\/c = -1 + (K \u2013 1)b\/c = S. Debido a esto, (K \u2013 1)b\/c = S + 1.<\/p>\n
De manera an\u00e1loga, en este caso, tenemos que (K \u2013 1)c\/a = S + 1 y (K \u2013 1)a\/b = S + 1.<\/p>\n
Puesto que K no vale 1, tenemos que b\/c = c\/a = a\/b, pero en ese caso los tres deber\u00edan tener el mismo signo, por lo que es imposible que a + b + c = 0.<\/p>\n
Bien, entonces supongamos que tenemos que a + Kb = (K + 1)c. \u00bfQu\u00e9 valores podr\u00edamos usar para a, b y c? Claramente, deben ser iguales, por ejemplo, a = 1, b = 1 y c= 1.<\/p>\n
As\u00ed que K distinto de 1, y S debe ser K + 1 ( y los tres n\u00fameros son iguales).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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