{"id":3097,"date":"2023-11-26T08:01:12","date_gmt":"2023-11-26T08:01:12","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=3097"},"modified":"2023-11-26T08:01:12","modified_gmt":"2023-11-26T08:01:12","slug":"solucion-a-codigos-de-10-cifras","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2023\/11\/26\/solucion-a-codigos-de-10-cifras\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a c\u00f3digos de 10 cifras"},"content":{"rendered":"
Problema 11 del concurso Olitele 2022\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Se ordenan aleatoriamente las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, sin repetir ninguna, para escribir un c\u00f3digo de 10 cifras (puede comenzar por 0).<\/p>\n
a) \u00bfCu\u00e1l es la probabilidad de que en ese c\u00f3digo aparezca la cadena de n\u00fameros 123?<\/p>\n
b) Cu\u00e1l es la probabilidad de que en ese c\u00f3digo, las cifras 1, 2 y 3, aparezcan en ese orden (el 1 en alguna posici\u00f3n antes del 2, el 2 en alguna posici\u00f3n antes del 3)?<\/p>\n
Se crea un c\u00f3digo de 10 cifras de manera que cada cifra se elige al azar entre el 0 y el 9, independientemente de las otras.<\/p>\n
c) \u00bfCu\u00e1l es la probabilidad de que en ese c\u00f3digo aparezca la cadena 20222023?<\/p>\n
d) \u00bfCu\u00e1l es la probabilidad de que en ese c\u00f3digo aparezca la cadena 2022 y tambi\u00e9n la 2023?<\/p>\n
e) \u00bfCu\u00e1l es la probabilidad de que en ese c\u00f3digo aparezca la cadena 2025?
\n\"\"
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nApartado a)<\/p>\n
Puesto que no es muy conveniente ir comprobando si la cadena aparece o no cada vez que elegimos un n\u00famero (aunque tal vez se podr\u00eda hacer un \u00e1rbol podando h\u00e1bilmente a cada paso), voy a tratar de calcular el n\u00famero de combinaciones que tienen este tipo de situaci\u00f3n, y dividirlo entre el total, que son 10! = 2\u00b73\u00b74\u00b75\u00b76\u00b77\u00b78\u00b79\u00b710 = 3 628 800.<\/p>\n
Si ponemos la cadena en primer lugar, hay que elegir las 7 cifras que van en las 7 posiciones restantes entre las 7, lo que har\u00e1 un total de 7!, pero hay la misma cantidad si la cadena est\u00e1 en segunda, tercera, o incluso en octava posici\u00f3n, es decir que tenemos 8\u00b77! = 8! c\u00f3digos con esa condici\u00f3n.<\/p>\n
La probabilidad es, por tanto, 8!\/10! = 1\/90.<\/p>\n
Apartado b)<\/p>\n
Ser\u00eda muy f\u00e1cil saber si un n\u00famero cae delante de otro, porque la probabilidad es exactamente un medio (la mitad de veces saldr\u00e1n en un orden y la otra mitad en el otro).<\/p>\n
Sin embargo, con tres, igual no es tan evidente.<\/p>\n
Uno cualquiera de los c\u00f3digos va a tener un 1, un 2 y un 3, en cualquiera de los \u00f3rdenes posibles.<\/p>\n
Pero como hay 6 posibles \u00f3rdenes, habr\u00e1 cinco c\u00f3digos con los n\u00fameros desordenados en esas posiciones, y uno con los n\u00fameros en su orden, por lo que la probabilidad de que est\u00e9n en el orden correcto es 1\/6.<\/p>\n
Apartado c)<\/p>\n
Una cadena muy larga, formada por 8 cifras, la probabilidad va a ser muy baja.<\/p>\n
Hay 10\u00b9\u2070 = 10 000 000 000 de c\u00f3digos posibles. Veamos cu\u00e1ntos contienen esa cadena. La cadena puede empezar en primera, segunda o tercera posici\u00f3n, porque s\u00f3lo podremos elegir con libertad 2 d\u00edgitos, es decir, que tendremos 3\u00b7100 = 300 cadenas con esa condici\u00f3n.<\/p>\n
Por lo tanto la probabilidad es sumamente baja (300\/10 000 000 000 = 3\/100 000 000).<\/p>\n
Apartado d)<\/p>\n
Puesto que no nos dicen que una cadena est\u00e9 antes de la otra, tenemos bastantes casos que tener en cuenta. En cada uno de ellos hay que elegir los otros dos d\u00edgitos del c\u00f3digo, es decir, que una vez que fijemos las dos cadenas, el n\u00famero de posibilidades se debe multiplicar por 100.<\/p>\n
Si la primera cadena se fija al principio, la segunda se puede poner en quinta, sexta o s\u00e9ptima posici\u00f3n. Si se pone en segunda posici\u00f3n, la segunda s\u00f3lo se puede poner en sexta o s\u00e9ptima posici\u00f3n. Si es en tercera posici\u00f3n, s\u00f3lo se puede poner en s\u00e9ptima posici\u00f3n. No se puede poner en cuarta posici\u00f3n, porque no hay sitio para la otra, y de nuevo hay una situaci\u00f3n sim\u00e9trica si se pone en quinta, sexta o s\u00e9ptima posici\u00f3n. Por tanto hay un total de 1 200 cadenas con esa condici\u00f3n.<\/p>\n
La probabilidad por tanto es baja, pero no tanto como la otra (1 200\/10 000 000 000 = 3\/25 000 000).<\/p>\n
Apartado e)<\/p>\n
Es muy similar al c), pero tenemos 7 posibles situaciones para la cadena, y hay que elegir los 6 d\u00edgitos restantes, de forma que tenemos 7 000 000 de cadenas con esta propiedad, as\u00ed que aparentemente la probabilidad es de 7\/10 000.<\/p>\n
Sin embargo, hay que afinar un poco m\u00e1s, ya que en este recuento hay que quitar los casos en los que la cadena aparece dos veces, ya que los estaremos contando doble.<\/p>\n
\u00bfCu\u00e1ntas veces aparece doble la cadena 2025? Para eso usamos el apartado d), ya que hay un total de 600 cadenas en las que aparece doble (ya que si aparece en sexta posici\u00f3n, por ejemplo, y la otra en cuarta, ya la hemos contado). Por tanto la respuesta correcta es 6 999 400\/10 000 000 000 = 34 997\/50 000 000, en realidad s\u00f3lo ligeramente inferior a la probabilidad aparente.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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