{"id":3112,"date":"2023-12-10T08:58:09","date_gmt":"2023-12-10T08:58:09","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=3112"},"modified":"2023-12-10T08:59:46","modified_gmt":"2023-12-10T08:59:46","slug":"solucion-a-cuadrilatero-inscrito","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2023\/12\/10\/solucion-a-cuadrilatero-inscrito\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a cuadril\u00e1tero inscrito"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 1 del nivel B de la Olimpiada Provincial de Alicante de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana de 2023\r\nSe dirige a una edad de: 14 -15 a\u00f1os<\/pre>\n<p>En el rect\u00e1ngulo ABCD, de lados AB = 4 cm, y BC = 5 cm, se ha inscrito el cuadril\u00e1tero A\u2019B\u2019C\u2019D\u2019, haciendo que AA\u2019 = BB\u2019 = CC\u2019 = DD\u2019 = x.<\/p>\n<p>Escribe la funci\u00f3n que expresa el \u00e1rea de A\u2019B\u2019C\u2019D\u2019 en funci\u00f3n de x.<\/p>\n<p>\u00bfCu\u00e1l es el dominio de la funci\u00f3n?<\/p>\n<p>\u00bfPara qu\u00e9 valor de x se alcanza el m\u00ednimo?<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-3108\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2023\/12\/326.rectangulo.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" srcset=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2023\/12\/326.rectangulo.png 300w, https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2023\/12\/326.rectangulo-150x150.png 150w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><br \/>\nSoluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nPara un valor concreto de x, podemos encontrar el \u00e1rea del cuadril\u00e1tero restando a la del rect\u00e1ngulo los cuatro tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos, que son la diferencia entre ambos.<\/p>\n<p>Hay dos tipos de tri\u00e1ngulos, los BB\u2019A\u2019 y C\u2019DD\u2019 tienen la misma \u00e1rea, de hecho forman un rect\u00e1ngulo.<\/p>\n<p>Los otros dos tambi\u00e9n forman un rect\u00e1ngulo.<\/p>\n<p>Las \u00e1reas de estos dos rect\u00e1ngulos ser\u00edan el producto de sus lados.<\/p>\n<p>x(4 \u2013 x) = 4x \u2013 x\u00b2<\/p>\n<p>x(5 \u2013 x) = 5x \u2013 x\u00b2<\/p>\n<p>Al rest\u00e1rselo a 12, que es el \u00e1rea del rect\u00e1ngulo inicial, tendremos la funci\u00f3n polin\u00f3mica:<\/p>\n<p>A(x) = 20 \u2013 9x + 2x\u00b2<\/p>\n<p>Si has visto algo de funciones, sabr\u00e1s que se trata de una par\u00e1bola.<\/p>\n<p>El dominio es cuando tiene sentido tomar valores de x, es decir, entre 0 y 4, ya que el lado m\u00e1s corto mide 4 y no tiene sentido tomar valores mayores de x. As\u00ed que el dominio es el intervalo (0, 4).<\/p>\n<p>El valor m\u00ednimo se alcanza en el v\u00e9rtice, para el valor de la x que coincide con \u2013b\/(2a), donde b es el coeficiente de la x y a el de la x\u00b2. Por tanto, ser\u00eda +9\/4 = 2.25, donde se alcanzar\u00eda el cuadril\u00e1tero de \u00e1rea menor posible.<\/p>\n<p>Otra forma de verlo (m\u00e1s compleja) es cuadrarlo, es decir, convertirlo en el cuadrado de una suma, m\u00e1s un n\u00famero. De esta forma<br \/>\n20 \u2013 9x + 2x\u00b2 = (40 &#8211; 18x + 4x\u00b2)\/2 = (40 &#8211; 2\u00b7(9\/2)\u00b7(2x) + (2x)\u00b2)\/2 = (79\/4 + (9\/2)\u00b2 &#8211; 2\u00b7(9\/2)\u00b7(2x) + (2x)\u00b2)\/2 = (79\/4 + (9\/2 &#8211; 2x)\u00b2)\/2<br \/>\nY, claro, visto como una suma, est\u00e1 claro que el resultado menor posible es cuando el sumando al cuadrado da cero, ya que siempre es positivo. Y eso s\u00f3lo sucede cuando x = 9\/4.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 1 del nivel B de la Olimpiada Provincial de Alicante de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana de 2023 Se dirige a una edad de: 14 -15 a\u00f1os En el rect\u00e1ngulo ABCD, de lados AB = 4 cm, y BC = 5 cm, se ha inscrito el cuadril\u00e1tero A\u2019B\u2019C\u2019D\u2019, haciendo que AA\u2019 = BB\u2019 [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2242028,2242020,1738,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-3112","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-comunidadvalenciana","category-olimpiada-de-la-comunidad-valenciana","category-olimpiadas","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3112","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3112"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3112\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3114,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3112\/revisions\/3114"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3112"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3112"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3112"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}