{"id":317,"date":"2017-12-30T18:28:33","date_gmt":"2017-12-30T18:28:33","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=317"},"modified":"2018-01-15T19:46:05","modified_gmt":"2018-01-15T19:46:05","slug":"un-par-de-angulos-s","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2017\/12\/30\/un-par-de-angulos-s\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a un par de \u00e1ngulos"},"content":{"rendered":"
Canguro matem\u00e1tico (nivel 5) 2017\r\nSe dirige a una edad de: 16 a\u00f1os<\/pre>\n
ABC es un tri\u00e1ngulo. El punto D se elige de forma que DC = AB.<\/p>\n
El punto M es el punto medio entre A y D, y el punto N es el punto medio entre B y C.<\/p>\n
Si entendemos que el \u00e1ngulo NMC es x, entonces, el \u00e1ngulo BAC \u00bfqu\u00e9 vale, en funci\u00f3n de x?
\n\"\"<\/p>\n
Puesto que el concurso es de respuesta cerrada, se nos ofrec\u00edan cinco alternativas:\u00a0 2x, 90 \u2013 x, 45 + x, 90 \u2013 x\/2, o 60\u00ba.
\nSoluci\u00f3n:
\n
\nEste problema fue el m\u00e1s dif\u00edcil del nivel 5 del curso pasado. Puesto que se trata de un problema con opciones, la forma m\u00e1s r\u00e1pida de contestar consiste en partir de un tri\u00e1ngulo conocido y hacer el c\u00e1lculo. Es muy r\u00e1pido probar con un equil\u00e1tero y medio cuadrado en dos posiciones, y ayuda a descartar todas las opciones menos una.<\/p>\n
En efecto, en el equil\u00e1tero tenemos que D coincide con A, y por simetr\u00eda, x mide 30 y el otro \u00e1ngulo mide 60, de forma que r\u00e1pidamente tenemos que 45 + x y 90 \u2013 x\/2 quedan descartadas. Si ponemos el medio cuadrado de forma que AC sea la diagonal, entonces repetimos la situaci\u00f3n y x es 45 y el otro 90, con lo que descartamos 90 \u2013 x y 60. La otra posici\u00f3n nos puede servir para asegurarnos, pero la respuesta debe ser 2x.<\/p>\n
Ahora, vamos a aprovechar que tenemos tiempo para confirmar que, en efecto, el otro \u00e1ngulo es siempre 2x.<\/p>\n
En esta ocasi\u00f3n tampoco encontramos una manera sencilla de acortar el proceso, aunque el hecho de que aparezcan un \u00e1ngulo y su doble sugiere que deber\u00eda poderse convertir en un \u00e1ngulo central y uno inscrito, pero no parece f\u00e1cil.<\/p>\n
De nuevo utilizaremos f\u00f3rmulas propias de la geometr\u00eda algebraica, aunque no es sencillo. Recordamos que el coseno del \u00e1ngulo entre dos vectores es el cociente entre su producto escalar y el producto de sus m\u00f3dulos. Tambi\u00e9n necesitaremos la f\u00f3rmula trigonom\u00e9trica que relaciona el coseno de un \u00e1ngulo con el coseno de su doble.<\/p>\n
Para que salgan expresiones sin fracciones, tomaremos A como (0,0), B como (2x, 2y), y C como (2, 0) (esto siempre podemos lograrlo porque cualquier tri\u00e1ngulo lo podemos fijar para que la unidad de medida sea la mitad del lado AC). Para facilitar el c\u00e1lculo, tomaremos d como la mitad de la distancia entre A y B, es decir, que d = ra\u00edz(x\u00b2 + y\u00b2).<\/p>\n
El punto D, por tanto, ser\u00e1 el punto (2 \u2013 2d, 0) y el punto N ser\u00e1 (x + 1, y). El punto M ser\u00e1 (1 \u2013 d, 0). Necesitaremos m\u00e1s adelante el vector MN, que ser\u00e1 el vector de componentes (x + d, y). Su m\u00f3dulo lo denominaremos v = ra\u00edz ((x + d)\u00b2 +y\u00b2).<\/p>\n
De el \u00e1ngulo entre el vector AB y el vector AC, podemos calcular con facilidad su coseno, mediante la f\u00f3rmula cos(p) = (2x, 2y)\u00b7(2,0)\/(2*2d) = 4x \/4d = x\/d. La expresi\u00f3n no puede ser m\u00e1s sencilla.<\/p>\n
Ahora bien, la expresi\u00f3n del coseno del \u00e1ngulo entre MN y MC no es tan sencilla. Aqu\u00ed, cos(q) = (x + d, y)\u00b7(1 + d, 0)\/(v*(1+d)) = (x + d)(1 + d)\/(v*(1 + d)) = (x + d)\/v.<\/p>\n
A partir de aqu\u00ed, necesitamos conocer la relaci\u00f3n entre un coseno de un \u00e1ngulo y su doble. La relaci\u00f3n deber\u00eda ser que cos(p) = 2(cos(q))\u00b2 \u2013 1, por lo que trataremos de aplicar esa f\u00f3rmula al cos(q) y simplificarlo hasta ver si queda cos(p).<\/p>\n
Por lo tanto, tratemos de calcular 2(x + d)\u00b2\/v\u00b2 \u2013 1 y ver si es equivalente a x\/d.<\/p>\n
Recordamos que v\u00b2 = (x + d)\u00b2 +y\u00b2, por lo que 2(x + d)\u00b2\/v\u00b2 \u2013 1 = (2(x\u00b2 + 2xd + d\u00b2) – ((x + d)\u00b2 +y\u00b2))\/((x + d)\u00b2 +y\u00b2) = (2x\u00b2 + 4xd + 2d\u00b2 \u2013 (x\u00b2 + 2dx + d\u00b2 +y\u00b2))\/((x + d)\u00b2 +y\u00b2) = (2x\u00b2 + 4xd + 2d\u00b2 \u2013 x\u00b2 \u2013 2dx \u2013 d\u00b2 \u2013 y\u00b2))\/((x + d)\u00b2 +y\u00b2) = (x\u00b2 + 2xd + d\u00b2 \u2013 y\u00b2))\/(x\u00b2 + 2dx + d\u00b2 +y\u00b2).<\/p>\n
Tambi\u00e9n sabemos que d\u00b2 = x\u00b2 + y\u00b2 , de forma que donde est\u00e9 al cuadrado podemos sustituir, quedando (x\u00b2 + 2xd + d\u00b2 \u2013 y\u00b2))\/(x\u00b2 + 2dx + d\u00b2 +y\u00b2) = (x\u00b2 + 2xd + x\u00b2 + y\u00b2 \u2013 y\u00b2))\/(x\u00b2 + 2dx + x\u00b2 + y\u00b2 +y\u00b2) = (2x\u00b2 + 2xd))\/(2x\u00b2 + 2dx + 2y\u00b2) = (x\u00b2 + xd))\/(x\u00b2 + dx + y\u00b2) = (x\u00b2 + xd))\/(d\u00b2 + dx).<\/p>\n
De esta \u00faltima expresi\u00f3n, podemos sacar factores y queda (x\u00b2 + xd))\/(d\u00b2 + dx) = (x\u00b7(x + d))\/(d\u00b7(d + x)) = x\/d.<\/p>\n
Por lo tanto, tras mucho trabajo, conseguimos demostrar que el \u00e1ngulo entre MN y NC es, en efecto, la mitad que el \u00e1ngulo entre AB y AC.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Canguro matem\u00e1tico (nivel 5) 2017 Se dirige a una edad de: 16 a\u00f1os ABC es un tri\u00e1ngulo. El punto D se elige de forma que DC = AB. El punto M es el punto medio entre A y D, y el punto N es el punto medio entre B y C. Si entendemos que el […]<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-317","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/317","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=317"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/317\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":319,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/317\/revisions\/319"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=317"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=317"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=317"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}