{"id":3179,"date":"2024-02-10T16:25:58","date_gmt":"2024-02-10T16:25:58","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=3179"},"modified":"2024-02-10T16:25:58","modified_gmt":"2024-02-10T16:25:58","slug":"solucion-a-sumas-de-numeros-formadas-por-unos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2024\/02\/10\/solucion-a-sumas-de-numeros-formadas-por-unos\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a “Sumas de n\u00fameros formadas por unos”"},"content":{"rendered":"
Problema 1 de la Fase Local de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2024 (viernes)\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Hallar el menor entero positivo n tal que la suma de n sumandos<\/p>\n
A(n) = 1 + 11 + 111 + \u2026 + 11…1<\/p>\n
es divisible por 45.
\n\"\"<\/p>\n
Soluci\u00f3n:
\n
\nEste problema se puede solucionar sin tener muchos conocimientos, pero podr\u00eda convenir saber cosas de divisibilidad a la hora de buscar patrones, ya que a partir de cierto punto las sumas directas se pueden volver muy largas y las posibilidades de equivocarse est\u00e1n muy presentes.<\/p>\n
Es sencillo sumar los primeros y probar a dividir, con lo que r\u00e1pidamente vemos un patr\u00f3n en las cifras del resultado. Puesto que los primeros no son claramente divisibles por 45, podemos llegar a la d\u00e9cima suma con facilidad, donde veremos que se rompe el patr\u00f3n de las cifras por culpa de exceder de 10 algunos valores y empiezan a complicarse las cosas.<\/p>\n
Claro, que viendo que 45 es el producto de 5 por 9, r\u00e1pidamente entendemos que hay que estudiar la divisibilidad por 5 y la divisibilidad por 9, que son bastante conocidas.<\/p>\n
Como la divisibilidad por 5 depende s\u00f3lo de la \u00faltima cifra, y el patr\u00f3n de la \u00faltima cifra de la suma va variando de 1 en 1, est\u00e1 claro que n debe ser m\u00faltiplo de 5, con lo que podemos f\u00e1cilmente probar qu\u00e9 da en los casos de 5 y de 10, viendo que ninguno de los dos es divisible tambi\u00e9n por 9, as\u00ed que deber\u00edamos estudiar la divisibilidad por 9.<\/p>\n
Aqu\u00ed hay dos aproximaciones muy diferentes. Si nos centramos en restos m\u00f3dulo 9, (es decir, el resto a dividir entre 9, o qu\u00e9 diferencia hay entre un n\u00famero y el mayor m\u00faltiplo de 9 menor que ese n\u00famero), es f\u00e1cil estudiar el resto de los n\u00fameros de la sucesi\u00f3n 1, 11, 111, \u2026
\nVoy a utilizar el s\u00edmbolo \u2261 para referirme a partir de ahora a equivalente m\u00f3dulo 9<\/p>\n
1 \u2261 1
\n11 \u2261 2
\n111 \u2261 3
\n1 111 \u2261 4<\/p>\n
Sucesivamente, llegamos que el t\u00e9rmino 9 es<\/p>\n
111 111 111 \u2261 0 (es m\u00faltiplo de 9)<\/p>\n
Y a partir de ah\u00ed, volvemos a empezar, es decir, se produce un ciclo de 9 posibles restos y volvemos a empezar.<\/p>\n
Pero nuestro objetivo son las sumas, as\u00ed que empezamos de nuevo<\/p>\n
n = 1, 1 \u2261 1<\/p>\n
n = 2, 12 \u2261 1 + 2 = 3<\/p>\n
n = 3, 123 \u2261 3 + 3 = 6<\/p>\n
n = 4, 1234 \u2261 6 + 4 = 10 \u2261 1 (observa que los restos se pueden sumar tranquilamente, ya que la parte divisible por 9 al sumarse sigue siendo divisible por 9)<\/p>\n
n = 5, 12345 \u2261 1 + 5 = 6<\/p>\n
n = 6, 123456 \u2261 6 + 6 = 12 \u2261 3<\/p>\n
n = 7, 1234567 \u2261 3 + 7 = 10 \u2261 1<\/p>\n
n = 8, 12345678 \u2261 1 + 8 = 9 \u2261 0 (m\u00faltiplo de 9)<\/p>\n
n = 9, 123456789 \u2261 0 + 0 = 0 (m\u00faltiplo de 9)<\/p>\n
n = 10, 1234567900 \u2261 0 + 1 = 1 \u00a1Vuelve a comenzar! Esto sucede porque volvemos a sumar la misma secuencia a cero.<\/p>\n
Eso quiere decir que en la sucesi\u00f3n A(n) hay una secuencia de restos al dividir por 9 en la que 7 n\u00fameros no lo son y dos s\u00ed.<\/p>\n
Ahora, si nos preguntamos d\u00f3nde est\u00e1n los primeros restos si avanzamos de 5 en 5 por esa secuencia, veremos lo siguiente:<\/p>\n
1 (n = 10)
\n3 (n = 20)
\n6 (n = 30)
\n1 (n = 40)
\n6 (n = 5)
\n3 (n = 15)
\n1 (n = 25)
\n0 (n = 35)
\n0 (n = 45)<\/p>\n
Por lo que est\u00e1 claro que el primer valor para el que es divisible por 5 y por 9 ser\u00eda 35, y 45 ser\u00eda el segundo.<\/p>\n
Otra aproximaci\u00f3n m\u00e1s r\u00e1pida e ingeniosa, significa quedarnos con algo diferente del patr\u00f3n que hemos visto:<\/p>\n
1 \u2261 1
\n11 \u2261 2
\n111 \u2261 3
\n1 111 \u2261 4<\/p>\n
Sucesivamente, llegamos que el t\u00e9rmino n tiene el mismo resto que n<\/p>\n
Y claramente por tanto las sumas van a tener el mismo resto que 1 + 2 + \u2026 + n, que si sabemos sumar progresiones aritm\u00e9ticas (\u00e9sta es la que ponen siempre de ejemplo como la an\u00e9cdota de Gauss) da lo mismo que (n + 1)\u00b7n\/2, y claramente s\u00f3lo dar\u00e1 m\u00faltiplo de 9 bien si n es m\u00faltiplo de 9 o bien si n + 1 lo es.<\/p>\n
Probando los diferentes m\u00faltiplos de 5, vemos que:<\/p>\n
ni 5 ni 6 son m\u00faltiplo de 9
\n10 y 19 tampoco
\n15 y 16 tampoco<\/p>\n
Y as\u00ed sucesivamente hasta 35, que s\u00ed va a producir un A(35) m\u00faltiplo por ser m\u00faltiplo 36 = 9\u00b74.<\/p>\n
El siguiente ser\u00eda 45, evidentemente, y el siguiente ya ser\u00eda 80.<\/p>\n
como se puede apreciar, es un m\u00e9todo mucho m\u00e1s r\u00e1pido, pero no siempre es f\u00e1cil de encontrar.<\/p>\n
Las secuencias pueden volverse, en algunos casos, muy complejas. Por ejemplo, si estudiamos la divisibilidad por 7, el patr\u00f3n de repeticiones parece muy caprichoso, ya que esconde una secuencia de longitud 49, en el que el patr\u00f3n da divisibilidades intercaladas, hasta empezar a repetirse.<\/p>\n
Pedir por ejemplo cu\u00e1ndo es divisible por 63 podr\u00eda ponernos en serios aprietos.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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