{"id":3186,"date":"2024-02-17T09:31:00","date_gmt":"2024-02-17T09:31:00","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=3186"},"modified":"2024-02-17T09:42:50","modified_gmt":"2024-02-17T09:42:50","slug":"solucion_a_polinomios","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2024\/02\/17\/solucion_a_polinomios\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a “Dos polinomios muy parecidos”"},"content":{"rendered":"
Problema 2 de la Fase Local de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2024 (viernes)\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Sea P(x) un polinomio de grado 5, y sean a y b dos n\u00fameros reales diferentes de 0.<\/p>\n
Supongamos que el resto de P(x) al dividirlo por x\u00b3 + ax + b es igual al resto al dividirlo por x\u00b3 + ax\u00b2 + b.<\/p>\n
Determinar el valor de a + b.
\n\"\"<\/p>\n
Soluci\u00f3n:
\n
\nEl paso clave es entender que, si P(x) tiene el mismo resto al dividirlo entre ambos polinomios, existen dos polinomios cociente, que son de grado 2, que cumplen la relaci\u00f3n fundamental en la divisi\u00f3n, con el mismo polinomio resto. Supongamos que uno de ellos es c(x) y el otro es q(x) (recuerda que ambos son de segundo grado).<\/p>\n
Tenemos por tanto que P(x) = (x\u00b3 + ax + b)c(x) + r(x) y tambi\u00e9n P(x) = (x\u00b3 + ax\u00b2 + b)q(x) + r(x).<\/p>\n
Por lo tanto, P(x) \u2013 r(x) se puede factorizar de dos formas diferentes: (x\u00b3 + ax + b)c(x) = (x\u00b3 + ax\u00b2 + b)q(x).<\/p>\n
Pero sabemos que un polinomio de grado 5 s\u00f3lo tiene una factorizaci\u00f3n, como sucede con los n\u00fameros enteros (salvo, a lo sumo, factores reales, por los que podemos dividir para que ambos tengan primer coeficiente 1).<\/p>\n
Y como estos factores, bien son de grado 2 o de grado 1, existe al menos uno de los factores que divide tanto a x\u00b3 + ax + b como a x\u00b3 + ax\u00b2 + b, ya que claramente c(x) y q(x) deben ser polinomios diferentes y no pueden tener los mismos factores.<\/p>\n
Si divide a ambos, divide a la diferencia, es decir, que divide a ax\u00b2 \u2013 ax = a(x\u00b2 \u2013 x) = ax(x \u2013 1).<\/p>\n
Sin embargo, x no puede ser uno de los factores que divide, porque eso significar\u00eda que 0 es ra\u00edz de ambos polinomios, x\u00b3 + ax + b y de x\u00b3 + ax\u00b2 + b, y eso significar\u00eda que b vale 0. Por lo tanto, s\u00f3lo nos queda la posibilidad de que el polinomio que divide a ambos tenga el factor (x \u2013 1).<\/p>\n
Por \u00faltimo, eso significa que ambos polinomios tienen la ra\u00edz 1, es decir, que 1\u00b3 + a\u00b71 + b = 0 y que 1\u00b3 + a\u00b71\u00b2 + b = 0. Evidentemente, ambas expresiones son equivalentes, y nos garantizan que 1 + a + b = 0, por lo que a + b debe valer -1.<\/p>\n
En este problema, es f\u00e1cil caer en la tentaci\u00f3n de tratar de averiguar exactamente cu\u00e1les son los coeficientes de c(x) y q(x) por la igualdad, pero el sistema tiene demasiados grados de libertad y resulta confuso el sistema que se produce, a\u00fan en el caso de que establezcamos que el coeficiente principal (el de x\u00b2) vale 1 en ambos casos. Nos queda un sistema con 5 ecuaciones y 6 inc\u00f3gnitas, y, aunque algunas son sencillas de determinar en funci\u00f3n de un par\u00e1metro, con otras no sucede, y no he conseguido que me determinen el valor de a + b, aunque sospecho que es posible hacerlo.<\/p>\n
Otra cosa que me pregunto es si podr\u00e9 construir un par de valores a y b para los que estas igualdades funcionen.<\/p>\n
Imaginemos, por ejemplo, a = 2, b = -3.<\/p>\n
El polinomio x\u00b3 + 2x \u2013 3 es divisible por x \u2013 1, si probamos a dividirlo obtendremos x\u00b3 + 2x \u2013 3 = (x \u2013 1)(x\u00b2 + x + 3).<\/p>\n
Por otro lado, x\u00b3 + 2x\u00b2 \u2013 3 tambi\u00e9n lo es, y de nuevo factorizando, tenemos que x\u00b3 + 2x\u00b2 \u2013 3 = (x \u2013 1)(x\u00b2 + 3x + 3).<\/p>\n
Utilizando estos dos factores tenemos que (x\u00b3 + 2x \u2013 3)(x\u00b2 + 3x + 3) = (x\u00b3 + 2x\u00b2 \u2013 3)(x\u00b2 + x + 3) = x\u2075 + 3x\u2074 + 5x\u00b3 + 3x\u00b2 \u2013 3x \u2013 9, por lo que el resto al dividir cualquier polinomio que tuviese los coeficientes de t\u00e9rminos 5, 4 y 3 iguales o proporcionales a x\u2075 + 3x\u2074 + 5x\u00b3 producir\u00eda al dividir por cualquiera de ellos el mismo resto, como se puede comprobar.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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