{"id":3195,"date":"2024-02-24T12:57:24","date_gmt":"2024-02-24T12:57:24","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=3195"},"modified":"2024-02-24T12:57:24","modified_gmt":"2024-02-24T12:57:24","slug":"solucion-a-perpendicular-en-un-cuadrilatero","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2024\/02\/24\/solucion-a-perpendicular-en-un-cuadrilatero\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a “Perpendicular en un cuadril\u00e1tero”"},"content":{"rendered":"
Problema 3 de la Fase Local de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2024 (viernes)\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Sea ABCD un cuadril\u00e1tero.<\/p>\n
Sean J e I los puntos medios de las diagonales AC y BD, respectivamente.<\/p>\n
Sea G el punto de la recta BC tal que DG es perpendicular a BC y sea H el punto de la recta AD tal que CH es perpendicular a AD.<\/p>\n
Las rectas DG y CH se cortan en el punto K.<\/p>\n
Sea E el punto de la recta BC tal que AE es perpendicular a BC y sea F el punto de la recta AD tal que BF es perpendicular a AD.<\/p>\n
Las rectas AE y BF se cortan en el punto L.<\/p>\n
Probar que KL es perpendicular a JI.
\n\"\"<\/p>\n
Soluci\u00f3n:
\n
\nLa soluci\u00f3n oficial utiliza algunos recursos que no todos los estudiantes tienen.<\/p>\n
\"\"<\/p>\n
La idea clave en la soluci\u00f3n oficial es utilizar los puntos medios de las diagonales para construir c\u00edrculos que pasan por los dos extremos.<\/p>\n
En ese caso, las diagonales se convierten en di\u00e1metros de cada una de las circunferencias, y, como se forma un \u00e1ngulo recto que utiliza esos extremos, los puntos H y E pertenecen a una circunferencia, y los puntos G y F pertenecen a otra.<\/p>\n
Ahora, hay una semejanza clara en los tri\u00e1ngulos rect\u00e1ngulos HKD y KGC, por lo que el punto K tendr\u00e1 la misma potencia respecto a las dos circunferencias, y de forma similar con LEB y LFA, por o que L tambi\u00e9n.<\/p>\n
Los puntos que tienen la misma potencia est\u00e1n sobre una recta perpendicular a la que une los centros, por lo que tendremos como consecuencia la perpendicularidad.<\/p>\n
La pega que le veo es que necesitas tener claros los conceptos de potencia (la semejanza entiendo que es posible verla), y saber qu\u00e9 es el eje radical, el conjunto de puntos que tiene la misma potencia, y que es perpendicular a la que une los centros.<\/p>\n
Voy a tratar de construir una demostraci\u00f3n que use s\u00f3lo vectores y rectas, y elementos de geometr\u00eda algebraica.<\/p>\n
Como lo que tengo que probar es que dos segmentos son perpendiculares, voy a poner uno de los ejes sobre uno de los segmentos.<\/p>\n
Concretamente, el eje X va a ser el que contiene los puntos J e I, ya que son los m\u00e1s sencillos de construir. Usar\u00e9 J como centro, y el punto I va a ser (h, 0) para alg\u00fan valor h (positivo o negativo).<\/p>\n
Eso quiere decir que las diagonales est\u00e1n construidas cada una de ellas sobre dos vectores opuestos.<\/p>\n
\"\"<\/p>\n
Ahora, vamos a usar coordenadas para los diferentes puntos. A ser\u00e1 el punto (a, b), B ser\u00e1 el punto (h + c, -d), C ser\u00e1 el punto (-a, -b) y D ser\u00e1 el (h \u2013 c, d). Observo que en realidad los n\u00fameros a, b, c y d podr\u00edan ser positivos o negativos, seg\u00fan la posici\u00f3n relativa de los diferentes v\u00e9rtices del cuadril\u00e1tero, pero eso no va a afectar a los c\u00e1lculos posteriores.<\/p>\n
El vector BC ser\u00e1 (h + c + a, b \u2013 d), as\u00ed que las rectas perpendiculares a BC ser\u00edan de la forma (h + c + a)x + (b \u2013 d)y = k para alg\u00fan k. En particular, si pasan por A, la k debe valer (h + c + a)a + (b \u2013 d)b = a\u00b2 + ah + ac + b\u00b2 \u2013 bd.<\/p>\n
El vector DA ser\u00e1 (h \u2013 c \u2013 a, d \u2013 b), as\u00ed que las rectas perpendiculares a AD ser\u00e1n de la forma (h \u2013 c \u2013 a)x + (d \u2013 b)y = k para alg\u00fan valor de k. Al pasar por B, la k debe valer (h \u2013 c \u2013 a)(h + c) + (d \u2013 b)(-d) = h\u00b2 + hc \u2013 ch \u2013 c\u00b2 \u2013 ah \u2013 ac \u2013 d\u00b2 + bd = h\u00b2 \u2013 c\u00b2 \u2013 ah \u2013 ac \u2013 d\u00b2 + bd.<\/p>\n
Ahora, hay que ver d\u00f3nde se cortan las rectas de ecuaciones siguientes, el punto K:<\/p>\n
(a + h + c)x + (b \u2013 d)y =  a\u00b2 + ah + ac + b\u00b2 \u2013 bd
\n(h \u2013 c \u2013 a)x + (d \u2013 b)y =  h\u00b2 \u2013 c\u00b2 \u2013 ah \u2013 ac \u2013 d\u00b2 + bd<\/p>\n
En particular, queremos obtener la x, ya que del punto de corte, K, queremos estar seguros de que pasa una perpendicular al eje x, as\u00ed que necesitamos su coordenada x, para ver si es igual o no que la del punto L.<\/p>\n
Puesto que observamos que la y tiene el mismo coeficiente, es muy sencillo eliminarlo por reducci\u00f3n sumando, de forma que queda la siguiente ecuaci\u00f3n:<\/p>\n
2hx = a\u00b2 + b\u00b2 \u2013 c\u00b2 \u2013 d\u00b2 + h\u00b2<\/p>\n
Por lo que x = (a\u00b2 + b\u00b2 \u2013 c\u00b2 \u2013 d\u00b2 + h\u00b2)\/(2h) en el punto K. Si repetimos el proceso para L debe dar lo mismo. Veamos.<\/p>\n
El vector BC ser\u00e1 (h + c + a, b \u2013 d), as\u00ed que las rectas perpendiculares a BC ser\u00edan de la forma (h + c + a)x + (b \u2013 d)y = k para alg\u00fan k. En particular, si pasan por D, la k debe valer (h + c + a)(h – c) + (b \u2013 d)d = h\u00b2 \u2013 ch + ch \u2013 c\u00b2 + ah \u2013 ac + bd \u2013 d\u00b2 = h\u00b2 \u2013 c\u00b2 + ah \u2013 ac + bd \u2013 d\u00b2.<\/p>\n
El vector DA ser\u00e1 (h \u2013 c \u2013 a, d \u2013 b), as\u00ed que las rectas perpendiculares a AD ser\u00e1n de la forma (h \u2013 c \u2013 a)x + (d \u2013 b)y = k para alg\u00fan valor de k. Al pasar por C, la k debe valer (h \u2013 c \u2013 a)(-a) + (d \u2013 b)(-b) = -ah + ac + a\u00b2 \u2013 db + b\u00b2.<\/p>\n
Ahora, hay que ver d\u00f3nde se cortan las rectas de ecuaciones siguientes, el punto L:<\/p>\n
(a + h + c)x + (b \u2013 d)y =   h\u00b2 \u2013 c\u00b2 + ah \u2013 ac + bd \u2013 d\u00b2
\n(h \u2013 c \u2013 a)x + (d \u2013 b)y =  -ah + ac + a\u00b2 \u2013 db + b\u00b2<\/p>\n
En particular, queremos obtener la x del punto de corte, L<\/p>\n
Puesto que observamos que la y tiene el mismo coeficiente, es muy sencillo eliminarlo por reducci\u00f3n sumando, de forma que queda la siguiente ecuaci\u00f3n:<\/p>\n
2hx = a\u00b2 + b\u00b2 \u2013 c\u00b2 \u2013 d\u00b2 + h\u00b2<\/p>\n
Por lo que x = (a\u00b2 + b\u00b2 \u2013 c\u00b2 \u2013 d\u00b2 + h\u00b2)\/(2h) en el punto L.<\/p>\n
Por tanto, K y L est\u00e1n sobre una recta perpendicular al eje. Y con eso queda finalizada la demostraci\u00f3n.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Problema 3 de la Fase Local de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2024 (viernes) Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Sea ABCD un cuadril\u00e1tero. Sean J e I los puntos medios de las diagonales AC y BD, respectivamente. Sea G el punto de la recta BC tal que DG es perpendicular a BC […]<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2242021,1738,2242029,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-3195","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiada-matematica-espanola","category-olimpiadas","category-ome","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3195","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3195"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3195\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3198,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3195\/revisions\/3198"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3195"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3195"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3195"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}