{"id":3214,"date":"2024-03-09T18:54:50","date_gmt":"2024-03-09T18:54:50","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=3214"},"modified":"2024-03-09T18:54:50","modified_gmt":"2024-03-09T18:54:50","slug":"solucion-a-la-fiesta","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2024\/03\/09\/solucion-a-la-fiesta\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a &#8220;La fiesta&#8221;"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 5 de la Fase Local de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2024 (viernes)\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n<p>En una fiesta hay 100 personas. Cada par de personas son o bien amigos o bien enemigos (una y solo una de las dos cosas).<\/p>\n<p>Se cumple la siguiente propiedad: si A y B son enemigos y B y C son enemigos, entonces A y C son amigos.<\/p>\n<p>Demostrar que hay dos personas X e Y que cumplen simult\u00e1neamente estas condiciones:<\/p>\n<p>X tiene el mismo n\u00famero de enemigos que Y .<\/p>\n<p>X e Y son amigos.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-3211\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2024\/03\/339.fiesta.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" \/><\/p>\n<p>Soluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nSi partimos de la idea de que no existe ese par de personas, que llamaremos la hip\u00f3tesis inicial, puesto que todo el mundo tiene una cierta cantidad de enemigos, ordenemos a las personas por n\u00famero de enemigos.<\/p>\n<p>El que m\u00e1s n\u00famero de enemigos tiene, al que llamaremos el repelente, tendr\u00e1 un cierto n\u00famero x de enemigos, y no ninguna persona en la fiesta con m\u00e1s enemigos que \u00e9l.<\/p>\n<p>Es evidente que x es mayor que 2, ya que necesariamente en caso de que x sea 2, habr\u00e1 dos personas que tengan la misma cantidad de enemigos, y que ser\u00e1n amigos entre ellos (ya que habr\u00e1 muchas personas con 0 enemigos, o bien con 1 enemigo o bien con 2 enemigos).<\/p>\n<p>Ahora, tomemos a todos sus x enemigos (que ser\u00e1n m\u00e1s de 2), y orden\u00e9moslos seg\u00fan el n\u00famero de enemigos. Puesto que todos son enemigos del repelente, son amigos entre s\u00ed, por lo que no puede haber dos amigos con la misma cantidad de enemigos, seg\u00fan la hip\u00f3tesis inicial.<\/p>\n<p>Eso quiere decir que habr\u00e1 x personas con diferente n\u00famero de enemigos, y s\u00f3lo puede haber un m\u00e1ximo de x enemigos por persona, por lo que habr\u00e1 un repelente2, que tambi\u00e9n tendr\u00e1 x enemigos.<\/p>\n<p>Entonces, con los x enemigos de repelente2 podemos hacer lo mismo, ordenarlos por n\u00famero de enemigos, y de nuevo habr\u00e1 exactamente uno con cada posible cantidad de enemigos.<\/p>\n<p>Adem\u00e1s, tendremos que los enemigos de repelente2 no pueden ser tambi\u00e9n enemigos de repelente, ya que eso les obligar\u00eda a ser amigos.<\/p>\n<p>En particular, hay un enemigo de repelente con exactamente un enemigo (amigo de todos los dem\u00e1s), y un enemigo de repelente2 con exactamente un enemigo, por lo que entre ellos ser\u00e1n amigos.<\/p>\n<p>Eso genera una contradicci\u00f3n, es decir, que s\u00ed que se da siempre la propiedad propuesta.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 5 de la Fase Local de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2024 (viernes) Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os En una fiesta hay 100 personas. 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