{"id":3220,"date":"2024-03-16T19:47:13","date_gmt":"2024-03-16T19:47:13","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=3220"},"modified":"2024-03-16T19:47:13","modified_gmt":"2024-03-16T19:47:13","slug":"solucion-a-demasiados-cuadrados","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2024\/03\/16\/solucion-a-demasiados-cuadrados\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a “Demasiados cuadrados”"},"content":{"rendered":"
Problema 6 de la Fase Local de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2024 (viernes)\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Sean a, b, c tres n\u00fameros enteros, y sea p >= 5 un n\u00famero primo.<\/p>\n
Demostrar que, si an\u00b2 + bn + c es el cuadrado de un n\u00famero entero para 2p \u2013 1 valores consecutivos de n, entonces b\u00b2 \u2013 4ac es un m\u00faltiplo de p.<\/p>\n
\"\"<\/p>\n
Soluci\u00f3n:
\n<\/p>\n
Este problema es muy complejo, ya que requiere tener mucha experiencia con los restos de los primos y sus cuadrados para comenzar, y tambi\u00e9n tener mucha familiaridad con las f\u00f3rmulas de cuadrados.<\/p>\n
Hay una cosa que seguramente no habr\u00e9is pensado, y es que si buscamos los m\u00f3dulos de los n\u00fameros al cuadrado respecto a un primo, las posibilidades se reducen dr\u00e1sticamente.<\/p>\n
Por ejemplo, si pensamos en p = 7, hay 7 posibles restos al dividir un n\u00famero entre 7, que habitualmente llamamos 0, 1, 2, 3, 4, 5, y 6. Sin embargo, si tenemos el cuadrado de un n\u00famero, s\u00f3lo encontramos 4 posibilidades, 0, 1, 2 y 4. \u00bfPor qu\u00e9 sucede esto? Muy sencillo, si pensamos en un n\u00famero de la forma k\u00b77 + 1 y un n\u00famero de la forma k\u00b77 + 6 = k\u00b77 \u2013 1, tenemos que al elevar ambos al cuadrado, da uno de la forma k\u00b77 + 1. Similarmente, si elevamos al cuadrado un n\u00famero de la forma k\u00b77 + 2 y uno de la forma k\u00b77 + 5 = k\u00b77 \u2013 2, tenemos que sus cuadrados son de la forma k\u00b77 + 4. Esta circunstancia se aprecia claramente si pensamos que los posibles restos los podr\u00edamos escribir tambi\u00e9n como -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.<\/p>\n
Es decir, que para cualquier primo p a partir del 3, los posibles restos m\u00f3dulo p de los diferentes cuadrados ser\u00e1n 0 y la mitad de p \u2013 1, es decir (p \u2013 1)\/2 posibles restos no nulos y 0.<\/p>\n
As\u00ed que tenemos que, entre los m\u00f3dulos de los 2p \u2013 1 cuadrados que obtenemos en nuestro caso, habr\u00e1 muchas repeticiones, porque tenemos pocas posibilidades.<\/p>\n
De hecho, veremos que si dos n\u00fameros enteros al cuadrado tienen el mismo m\u00f3dulo respecto a p, y se pueden generar a partir de la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica que hemos visto, hay consecuencias sobre los valores de a y de b.<\/p>\n
\u00bfQu\u00e9 podemos concluir si tenemos que an\u00b2 + bn + c \u224d am\u00b2 + bm + c (utilizo el s\u00edmbolo \u224d para indicar equivalencia en m\u00f3dulo)?<\/p>\n
Pues tenemos que a(n\u00b2 \u2013 m\u00b2) + b(n \u2013 m) = a(n \u2013 m)(n + m) + b(n – m) \u224d 0.<\/p>\n
Y, sacando factor com\u00fan (n \u2013 m), tenemos que (n \u2013 m)(an + am + b) \u224d 0.<\/p>\n
As\u00ed que, si m \u224d n, es decir, si hay una diferencia de p entre ambos, entonces se da esa equivalencia (la valoraci\u00f3n de n y de m en el polinomio tienen el mismo m\u00f3dulo). Pero, adem\u00e1s, puede ocurrir que sean iguales si se da que el otro factor es divisible por p.<\/p>\n
El caso de que an + am + b \u224d 0, puede deberse a dos circunstancias.<\/p>\n
Si a \u224d 0, entonces, tenemos que b \u224d 0 y por tanto b\u00b2 \u2013 4ac \u224d 0, como tenemos en el enunciado.<\/p>\n
Si a no es divisible por p, eso significa que a(n + m) \u224d -b, por lo que n + m tendr\u00e1 siempre el mismo resto para todos los valores. Y se dar\u00e1 un caso en el que n y m sean iguales, pero para los dem\u00e1s casos habr\u00e1 un n y un m diferentes que dan el mismo m\u00f3dulo como resultado en el polinomio, pese a ser diferentes.<\/p>\n
Como conclusi\u00f3n, habr\u00e1 exactamente un par de valores n y m de cada p valores que den restos diferentes, y uno que ser\u00e1 \u00fanico, y esto suceder\u00e1 cada p valores (ya que cada valor k y p + k van a dar el mismo resto).<\/p>\n
Ahora, ya que sabemos que al menos hay un n\u00famero n entre los primeros p de forma que an\u00b2 + bn + c es m\u00faltiplo de p y cuadrado perfecto, es decir, m\u00faltiplo de p\u00b2. Si no es exactamente el n\u00famero p, sabemos tambi\u00e9n que el n\u00famero n + p tambi\u00e9n lo cumple, es decir, que a(n + p)\u00b2 + b(n + p) + c es tambi\u00e9n m\u00faltiplo de p\u00b2. Desarrollando, tenemos que an\u00b2 + 2anp + 2ap\u00b2 + bn + bp + c es m\u00faltiplo de p\u00b2, por lo que 2anp + 2ap\u00b2 + bp debe ser m\u00faltiplo de p\u00b2. Eso nos lleva a que 2an + 2ap + b es m\u00faltiplo de p, y por tanto 2an + b es m\u00faltiplo de p.<\/p>\n
Si elevamos este n\u00famero al cuadrado, tenemos 4a\u00b2n\u00b2 + 4anb + b\u00b2 = 4an\u00b2 + 4anb + 4ac \u2013 4ac + b\u00b2 = 4a(an\u00b2 + nb + c) + b\u00b2 \u2013 4ac, con lo que b\u00b2 \u2013 4ac es m\u00faltiplo de p.<\/p>\n
S\u00f3lo hay una excepci\u00f3n, y es el caso de que el n\u00famero n sea exactamente el \u00faltimo de los p primeros, y coincida que es el \u00fanico que cumple que an\u00b2 + bn + c es m\u00faltiplo de p. el problema en este caso es que n + p puede que no sea un cuadrado, as\u00ed que la demostraci\u00f3n anterior no vale. Sin embargo, en ese caso, al ser el \u00fanico, tenemos que an + an + b \u224d 0, es decir, que 2an + b es m\u00faltiplo de p de todas formas, por lo que vuelve a ser v\u00e1lida la demostraci\u00f3n.<\/p>\n
Tal vez haya una construcci\u00f3n m\u00e1s sencilla, basada a lo mejor en la f\u00f3rmula de la ecuaci\u00f3n de segundo grado, pero no he podido dar con ella. Agradecer\u00eda otras aproximaciones. Tampoco he podido construir un polinomio de segundo grado que cumpla esta condici\u00f3n para un cierto valor de p con \u00fanicamente 2p \u2013 1 n\u00fameros consecutivos, y lo he intentado, as\u00ed que no s\u00e9 si existir\u00e1 ese caso en particular (evidentemente, se puede construir uno que sea un cuadrado perfecto para todos los valores enteros, pero no es esa la intenci\u00f3n).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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