{"id":3227,"date":"2024-03-23T21:40:49","date_gmt":"2024-03-23T21:40:49","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=3227"},"modified":"2024-03-23T21:50:10","modified_gmt":"2024-03-23T21:50:10","slug":"solucion-a-una-ecuacion-complicada","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2024\/03\/23\/solucion-a-una-ecuacion-complicada\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a &#8220;Una ecuaci\u00f3n complicada&#8221;"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 7 de la Fase Local de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2024 (viernes)\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n<p>Sea a &gt; 1 un n\u00famero real.<\/p>\n<p>Encontrar todas las soluciones de la ecuaci\u00f3n: ra\u00edz(a \u2013 ra\u00edz(a + x)) = x en funci\u00f3n de a.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"alignnone size-full wp-image-3223\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2024\/03\/341.ecuacion.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" \/><\/p>\n<p>Soluci\u00f3n:<br \/>\n<!--more--><br \/>\nAunque se trata de una ecuaci\u00f3n solamente, requiere un an\u00e1lisis relativamente dif\u00edcil.<\/p>\n<p>Evidentemente, debemos empezar por eliminar las ra\u00edces, de forma que tenemos que a \u2013 ra\u00edz(a + x) = x\u00b2 para cierta x mayor que cero. Adem\u00e1s, observa que x debe ser menor o igual que ra\u00edz de a.<\/p>\n<p>Despejando de esta ecuaci\u00f3n, tenemos que ra\u00edz(a + x) = a \u2013 x\u00b2, por lo que a + x = a\u00b2 \u2013 2ax\u00b2 + x\u2074.<\/p>\n<p>Esta relaci\u00f3n es de cuarto grado en x, pero s\u00f3lo de segundo grado en a, as\u00ed que nos decantaremos por esa manera de establecer la relaci\u00f3n entre a y x. De esta forma, tenemos que a\u00b2 \u2013 a(2x\u00b2 + 1) + x\u2074 \u2013 x = 0. Por lo tanto, tenemos dos soluciones posibles para a.<\/p>\n<p>La primera opci\u00f3n ser\u00eda a = ((2x\u00b2 + 1) + ra\u00edz( 4x\u2074 + 4x\u00b2 + 1 \u2013 4x\u2074 + 4x))\/2 = ((2x\u00b2 + 1) + ra\u00edz( 4x\u00b2 + 1 + 4x))\/2 = (2x\u00b2 + 1 + 2x + 1)\/2 = x\u00b2 + x + 1. En este caso, tenemos que x = (-1 + ra\u00edz(4a \u2013 3))\/2. Es sencillo ver que esta soluci\u00f3n s\u00ed que cumple el enunciado, mientras que la correspondiente soluci\u00f3n con un signo negativo para la ra\u00edz da lugar a una x negativa, que no cumple la ecuaci\u00f3n.<\/p>\n<p>La segunda opci\u00f3n ser\u00eda similar, pero con la ra\u00edz negativa, y en ese caso, a = x\u00b2 + x, con lo que x = (1 + ra\u00edz(4a + 1))\/2, ya que la otra soluci\u00f3n es negativa, y de todas formas esta soluci\u00f3n no es v\u00e1lida por ser x mayor que ra\u00edz(a), y entrar en conflicto con el segundo p\u00e1rrafo.<\/p>\n<p>Ya que la \u00fanica soluci\u00f3n es que x = (-1 + ra\u00edz(4a \u2013 3))\/2, s\u00f3lo puede darse si 4a &#8211; 3 es mayor o igual que 1, de forma que a debe ser mayor o igual que uno, como afirma el enunciado.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 7 de la Fase Local de la Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas 2024 (viernes) Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Sea a &gt; 1 un n\u00famero real. Encontrar todas las soluciones de la ecuaci\u00f3n: ra\u00edz(a \u2013 ra\u00edz(a + x)) = x en funci\u00f3n de a. Soluci\u00f3n:<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2242021,1738,2242029,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-3227","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiada-matematica-espanola","category-olimpiadas","category-ome","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3227","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3227"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3227\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3230,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3227\/revisions\/3230"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3227"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3227"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3227"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}