{"id":325,"date":"2018-01-06T21:14:47","date_gmt":"2018-01-06T21:14:47","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=325"},"modified":"2018-09-20T20:55:52","modified_gmt":"2018-09-20T20:55:52","slug":"suma-de-potencias-s","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2018\/01\/06\/suma-de-potencias-s\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a suma de potencias"},"content":{"rendered":"
Problema 0 de la Olitele (Olimpiada Telem\u00e1tica de Catalu\u00f1a) 2017\r\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os<\/pre>\n
Si escribi\u00e9semos el resultado de la operaci\u00f3n 20152016<\/sup> + 20162017<\/sup> + 20172018<\/sup> + 20182019<\/sup> + 20192020<\/sup> con un \u00fanico n\u00famero entero \u00bfcu\u00e1l ser\u00eda la cifra de las unidades de ese n\u00famero?\"\"
\nSoluci\u00f3n:<\/p>\n
No tenemos ninguna propiedad que nos permita sumar potencias, salvo un factor com\u00fan, que en este caso no existe, pues todas las bases son diferentes.<\/p>\n
De forma que, si necesitamos calcular el valor de este n\u00famero, ser\u00e1 necesario trabajar con todas sus cifras, que son m\u00e1s de 6600 (el logaritmo de 2019, multiplicado por 2020, supera esta cifra).<\/p>\n
Pero como s\u00f3lo necesitamos la \u00faltima cifra, podemos molestarnos en calcular la \u00faltima cifra de cada uno de los sumandos y deducirla de ah\u00ed. La \u00faltima cifra de un producto s\u00f3lo depende de las \u00faltimas cifras de cada uno de los factores, de forma que nos fijaremos en esos factores.<\/p>\n
Puesto que 5\u00b75 = 25, todas las potencias de n\u00fameros que acaban en 5, tambi\u00e9n acaban en 5, por lo que 20152016<\/sup> acaba en 5.<\/p>\n
De forma similar, puesto que 6\u00b76 = 36, 20162017<\/sup> acaba en 6.<\/p>\n
Sin embargo, las dem\u00e1s potencias no son tan sencillas. La m\u00e1s simple es la que acaba en 9, ya que 9\u00b79 = 81, es decir, el cuadrado de un n\u00famero acabado en 9, acaba en 1. Y la \u00faltima cifra del cubo de un n\u00famero que acabe en 9, ser\u00e1 9 (ya que 9\u00b71 = 9). Y, repitiendo la operaci\u00f3n, la potencia cuarta acabar\u00e1 en uno, y la quinta en 9. Se trata de un ciclo de orden dos. En resumen, que cada potencia impar acabar\u00e1 en 9 y cada potencia par, en 1 (incluso la potencia en la que el exponente es cero). Por lo tanto 20192020<\/sup>, acabar\u00e1 en 1.<\/p>\n
Las potencias de n\u00fameros que acaban en 7 son algo m\u00e1s complicadas. El cuadrado acaba en 9 (7\u00b77 = 49), el cubo acaba en 3 (9\u00b77 = 63), la potencia cuarta acaba en 1 (3\u00b77 =21) y vuelta a empezar en un ciclo de orden 4 (7 \u2013 9 \u2013 3 \u2013 1). Cuando elevemos a un m\u00faltiplo de 4, tendremos un 1 como \u00faltima cifra, y en este caso, puesto que 2016 es un m\u00faltiplo de 4, 20172016<\/sup> acaba en 1, 20172017<\/sup> acaba en 7 y 20172018<\/sup>, la que buscamos, acaba en 9.<\/p>\n
Y nos quedan las que acaban en 8. El cuadrado acaba en 4 (8\u00b78 = 64), el cubo en 2 (4\u00b78 =32), la potencia cuarta en 6 (2\u00b78 = 16) y la potencia quinta vuelve a acabar en 8 (6\u00b78 = 48). Es decir, el ciclo de nuevo es cuatro (8 \u2013 4 \u2013 2 \u2013 6). La \u00fanica diferencia con 7 es que la potencia de exponente 0 no est\u00e1 en el ciclo (en el caso del 7 s\u00ed lo est\u00e1). Pero en este caso, todas las potencias m\u00faltiplos de 4 mayores que cero acaban en un 6, de forma que 20182016<\/sup> acaba en 6, 20182017<\/sup> acaba en 8, 20182018<\/sup> acaba en 4, y 20182019<\/sup> la que buscamos, acaba en 2.<\/p>\n
Como las \u00faltimas cifras de los cinco sumandos son, respectivamente, 5, 6, 9, 2 y 1, la \u00faltima cifra de la suma ser\u00e1 la misma que la de 5 + 6 + 9 + 2 + 1 = 23, es decir, que la suma que buscamos acabar\u00e1 en 3.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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