Demuestra que las dos bisectrices externas tA y tB en los puntos A y B concurren formando un \u00e1ngulo que es la media aritm\u00e9tica de \u03b1 y \u03b2.<\/p>\n\n\n\n
Nota: una bisectriz externa tA por A es aquella recta que forma el mismo \u00e1ngulo \u03b4 exterior al tri\u00e1ngulo con b y con c. Observa la figura:<\/p>\n\n\n\n Soluci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n Hubo dos preguntas muy repetidas en este ejercicio, qu\u00e9 significaba concurren, que era que se cortan al prolongarlas, y qu\u00e9 era la media aritm\u00e9tica, de la que lo \u00fanico que revelamos era que era la \u201cmedia habitual\u201d.<\/p>\n\n\n La esencia era completar tri\u00e1ngulos, ya que est\u00e1 claro que se cortan. Empezamos por observar que tanto \u03b1 como \u03b2 son \u00e1ngulos menores que 180\u00ba por estar en un tri\u00e1ngulo, y el \u00e1ngulo que forman las bisectrices externas con los lados del tri\u00e1ngulo es el mismo por los dos lados y suma 180\u00ba con el \u00e1ngulo del tri\u00e1ngulo, como se aprecia en la figura. Con eso tenemos dos igualdades: 2\u03b4 + \u03b1 = 180 y 2\u03b5 + \u03b2 = 180. Adem\u00e1s, el \u00e1ngulo x donde concurren las dos bisectrices forma un tri\u00e1ngulo con \u03b4 y con \u03b5, por lo que \u03b4 + \u03b5 + x = 180. Ahora se puede trabajar en este sistema, por reducci\u00f3n o por sustituci\u00f3n, para eliminar las variables \u03b4 y \u03b5, y se comprueba el enunciado: Por ejemplo, multiplicando por 2 la tercera ecuaci\u00f3n, tenemos que 2\u03b4 + 2\u03b5 + 2x = 360, y si le restamos la primera de las ecuaciones para eliminar \u03b4, tenemos que 2\u03b5 + 2x \u2013 \u03b1 = 180, y si restamos la segunda para eliminar \u03b5, tenemos que 2x \u2013 \u03b1 \u2013 \u03b2 = 0. Despejando ahora la x, tenemos que 2x = \u03b1 + \u03b2, por lo que x = (\u03b1 + \u03b2)\/2, que es la f\u00f3rmula de la media aritm\u00e9tica.<\/p>\n\n\n Tambi\u00e9n se puede jugar con un valor concreto y ver que se cumple, y observar que si modificas uno de los dos \u00e1ngulos, la media se modifica la mitad de la modificaci\u00f3n, y lo mismo pasa con el \u00e1ngulo, pero es necesario mantener el dibujo del tri\u00e1ngulo que forma el lado del tri\u00e1ngulo original y las dos bisectrices externas, el hecho de que sumen 180\u00ba esos tres \u00e1ngulos es fundamental.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema 2 del nivel B de la Olimpiada Provincial de Alicante de la Olimpiada de la Comunidad Valenciana de 2024 Se dirige a una edad de: 14 -15 a\u00f1os Demuestra que las dos bisectrices externas tA y tB en los puntos A y B concurren formando un \u00e1ngulo que es la media aritm\u00e9tica de \u03b1 […]<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2242028,2242020,1738,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-3355","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-comunidadvalenciana","category-olimpiada-de-la-comunidad-valenciana","category-olimpiadas","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3355","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3355"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3355\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3356,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3355\/revisions\/3356"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3355"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3355"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3355"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}![\"\"](\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2024\/08\/352.angulo.png\")
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