{"id":3446,"date":"2024-11-16T07:03:16","date_gmt":"2024-11-16T07:03:16","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=3446"},"modified":"2024-11-16T07:03:17","modified_gmt":"2024-11-16T07:03:17","slug":"solucion-a-misma-area-distintas-proporciones","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2024\/11\/16\/solucion-a-misma-area-distintas-proporciones\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a “Misma \u00e1rea, distintas proporciones”"},"content":{"rendered":"
\nProblema 6 del concurso Marat\u00f3 de problemes 2024\nSe dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os\n<\/pre>\n\n\n
En un tri\u00e1ngulo ABC, trazamos dos paralelas a la base AB por dos puntos M y N del lado AC, que llegan, respectivamente a los puntos P y R del lado AB.<\/p>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
En el primer caso, cuando la trazamos por M, la proporci\u00f3n AM\/MC es p y medimos el \u00e1rea del trapecio MABP.<\/p>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
En el segundo caso, medimos el \u00e1rea del tri\u00e1ngulo NRC, y resulta ser la misma que la del anterior trapecio. \u00bfQu\u00e9 proporci\u00f3n AN\/NC hay?<\/p>\n\n\n\n
Soluci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
Si no tenemos suficiente dominio de la situaci\u00f3n, podemos trabajar con un valor concreto de p, por ejemplo 4, y despu\u00e9s trasladar a \u00e1lgebra la situaci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n
Supongamos que tomamos como \u00e1rea unidad la de todo el tri\u00e1ngulo inicial, que es la misma en ambos casos.<\/p>\n\n\n\n
El que la proporci\u00f3n AM\/MC sea 4, quiere decir que AC\/MC = (AM + MC)\/MC = 4 + 1 = 5.<\/p>\n\n\n\n
Es decir, que el segmento AC es 5 veces mayor que MC. Puesto que los tri\u00e1ngulos CMP y CAB son semejantes, es decir, proporcionales, el \u00e1rea de CAB es 1\/25 de la original, es decir, la del trapecio es 24\/25. Es decir, la proporci\u00f3n entre las \u00e1reas del trapecio y de todo el tri\u00e1ngulo es de 24\/25.<\/p>\n\n\n\n
En el segundo dibujo, las figuras CNR y CAB tambi\u00e9n son semejantes, y la proporci\u00f3n entre esas \u00e1reas es de 24\/25, luego la proporci\u00f3n entre sus segmentos es de ra\u00edz(24)\/ra\u00edz(25) = 2\u00b7ra\u00edz(6)\/5.<\/p>\n\n\n\n
Eso quiere decir que la proporci\u00f3n entre CN\/CA es de 2\u00b7ra\u00edz(6)\/5, o CA\/CN = 5\/(2\u00b7ra\u00edz(6))<\/p>\n\n\n\n
Como nos piden la proporci\u00f3n en AN\/NC = (AC \u2013 NC)\/NC = 5\/(2\u00b7ra\u00edz(6)) \u2013 1 = (5\u00b7ra\u00edz(6)-12)\/12.<\/p>\n\n\n\n
Ahora vamos a hacerlo con \u00e1lgebra:<\/p>\n\n\n\n
La proporci\u00f3n AM\/MC es p, es decir, AC\/MC = (AM + MC)\/MC = p + 1.<\/p>\n\n\n\n
el \u00e1rea CAB es 1\/(p + 1)\u00b2 de la original.<\/p>\n\n\n\n
Por tanto, la del trapecio es la restante, 1 \u2013 1\/(p + 1)\u00b2 = ((p + 1)\u00b2 \u2013 1)\/(p + 1)\u00b2 = (p\u00b2 + 2p)\/(p +1)\u00b2. Y tambi\u00e9n la del tri\u00e1ngulo de la segunda figura.<\/p>\n\n\n\n
Como en el segundo dibujo, las figuras de nuevo son semejantes, la proporci\u00f3n entre CN\/CA ser\u00e1 ra\u00edz(p\u00b2 + 2p)\/(p + 1). Y la proporci\u00f3n CA\/CN = (p+ 1)\u00b7ra\u00edz(p\u00b2 + 2p)\/(p\u00b2 + 2p)<\/p>\n\n\n\n
Por tanto, la fracci\u00f3n AN\/NC = (AC \u2013 NC)\/NC = (p+ 1)\u00b7ra\u00edz(p\u00b2 + 2p)\/(p\u00b2 + 2p) \u2013 1 = ((p+ 1)\u00b7ra\u00edz(p\u00b2 + 2p) \u2013 p\u00b2 \u2013 2p)\/(p\u00b2 + 2p).<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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