{"id":3453,"date":"2024-12-07T08:29:03","date_gmt":"2024-12-07T08:29:03","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=3453"},"modified":"2024-12-07T08:29:05","modified_gmt":"2024-12-07T08:29:05","slug":"solucion-a-invertir-las-cifras","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2024\/12\/07\/solucion-a-invertir-las-cifras\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a “Invertir las cifras”"},"content":{"rendered":"
Problema 7 del concurso Marat\u00f3 de problemes 2024\nSe dirige a una edad de: 14-15 a\u00f1os<\/pre>\n\n\n
El numero 8547 tiene la caracter\u00edstica de poderse escribir 8547 = 5862 + 2685, como suma de un n\u00famero abcd de cuatro cifras, y el n\u00famero de 4 cifras dcba, que resulta de invertir el orden de las cifras del anterior.<\/p>\n\n\n\n
Razona cuantos n\u00fameros de 4 cifras tienen la caracter\u00edstica de poderse escribir como la suma de un n\u00famero de 4 cifras abcd y el n\u00famero dcba que tiene las mismas cifras en orden inverso.<\/p>\n\n\n\n
El n\u00famero m\u00e1s peque\u00f1o que cumple el enunciado es el 2002 = 1001 + 1001.<\/p>\n\n\n\n
Otro es el 3333, que cumple el enunciado con dos sumas con sumandos diferentes: 3333 = 1122 + 2211 = 1212 + 2121.<\/p>\n\n\n\n
\u00bfCu\u00e1l es el n\u00famero m\u00e1s grande que cumple el enunciado? Razona cu\u00e1ntas sumas del tipo abcd + dcba, de dos n\u00fameros de cuatro cifras en el que las cifras de uno resultan de escribir en orden inverso las cifres del otro, dan como resultado este n\u00famero m\u00e1s grande.<\/p>\n\n\n\n
Razona cu\u00e1ntas sumas de dos n\u00fameros de cuatro cifras del tipo abcd + dcba dan como resultado 8547.<\/p>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
Soluci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
Tras tantear un poco, decid\u00ed trabajar con la versi\u00f3n algebraica, ya que abcd + dcba = 1000a + 100b + 10c + d + 1000d + 100c + 10b + a = 1001a + 110b + 110c + 1001d = 1001(a + d) + 110(b + c).<\/p>\n\n\n\n
As\u00ed, los n\u00fameros del tipo que buscamos deben estar compuestos de la suma de un m\u00faltiplo de 1001 y de uno de 110, siempre que los factores enteros por los que los multiplicamos est\u00e9n entre el 2 y el 18 para el 1001 y entre el 0 y el 18 para el 110.<\/p>\n\n\n\n
En nuestros ejemplos, 8547 = 7007 + 1540 = 7\u00b71001 + 14\u00b7110, 1001 = 1\u00b71001 + 0\u00b7110 y 3333 = 3\u00b71001 + 3\u00b7110.<\/p>\n\n\n\n
Para saber cu\u00e1ntos hay, podemos tratar de ver cu\u00e1ntas combinaciones distintas hay.<\/p>\n\n\n\n
El valor (a + d) puede ser 2, y hay 19 combinaciones posibles de valores para el (c + b), ya que la \u00faltima a\u00fan tendr\u00eda 4 cifras (3982 = 1991 +1991).<\/p>\n\n\n\n
Lo mismo sucede si a + d vale 3, 4, 5, 6, 7 y 8 (3995 + 5993 = 9988). Hasta ahora, tenemos 7\u00b719 = 133.<\/p>\n\n\n\n
Sin embargo, para el valor de a+d= 9, tenemos que tener cuidado, porque s\u00f3lo son v\u00e1lidos los n\u00fameros c + b del 0 al 9, porque en ese caso excedemos las 4 cifras (4365 + 5634 = 9999).<\/p>\n\n\n\n
Valores mayores de a + d dan m\u00e1s de 4 cifras.<\/p>\n\n\n\n
Por tanto en total hay 133 + 10 = 143 n\u00fameros de este tipo. Con m\u00e1s precisi\u00f3n habr\u00eda que ver que no hemos contado m\u00e1s de una vez cada n\u00famero, y eso significa que 110k no debe ser m\u00faltiplo de 1001. sin embargo, descomponiendo 1001 en factores descubrimos que contiene los factores 13 y 7, mientras que 110 no, es decir, que deber\u00edamos multiplicarlo al menos por 91 para lograrlo.<\/p>\n\n\n\n
Evidentemente el n\u00famero m\u00e1s grande que cumple el enunciado ser\u00eda el 9999, ya citado anteriormente.<\/p>\n\n\n\n
El n\u00famero 8547 =1001\u00b77 + 110\u00b714. Tenemos que ver cu\u00e1ntos posibles valores a + d suman 7, que ser\u00edan las parejas 1 y 6, 2 y 5, y 3 y 4, mientras que para conseguir 14 con dos cifras contamos con las opciones 9 y 5, 8 y 6, y 7 y 7. En total, habr\u00eda por tanto, para cada uno de las tres elecciones de a y de d, 5 elecciones de b y de c (en el caso de que sean 7 ambos no se podr\u00edan intercambiar).<\/p>\n\n\n\n
Voy a citarlas todas:<\/p>\n\n\n\n
1596 + 6951
1686 + 6861
1776 + 6771
1866 + 6681
1956 + 6591
2595 + 5952
2685 + 5862
2775 + 5772
2865 + 5682
2955 + 5592
3594 + 4953
3684 + 4863
3774 + 4773
3864 + 4683
3954 + 4593<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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