{"id":3473,"date":"2025-01-04T11:50:30","date_gmt":"2025-01-04T11:50:30","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=3473"},"modified":"2025-01-04T11:50:31","modified_gmt":"2025-01-04T11:50:31","slug":"solucion-a-divisible-por-una-potencia-de-5","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2025\/01\/04\/solucion-a-divisible-por-una-potencia-de-5\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a &#8220;Divisible por una potencia de 5&#8221;"},"content":{"rendered":"<pre>\nProblema 4 de la Fase Nacional de la L Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola (2014)\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os\n<\/pre>\n\n\n<p>La sucesi\u00f3n {x<sub>n<\/sub>} para n entero positivo, definida por x<sub>1<\/sub> = 2 y x<sub>n + 1<\/sub> = 2(x<sub>n<\/sub>)\u00b3 + x<sub>n<\/sub> para todo n mayor o igual que 1.<\/p>\n\n\n\n<p>Determina la mayor potencia de 5 que divide al n\u00famero (x<sub>2014<\/sub>)\u00b2 + 1.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"300\" height=\"300\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2024\/12\/368.divisiblepor5.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3470\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Soluci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n<!--more-->\n\n\n\n<p>He vuelto a ver este problema, y he revisado y no lo he subido a ning\u00fan blog. Me ha parecido que ense\u00f1a varias ideas apropiadas para esta competici\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n<p>El primer paso es experimentar. Claramente, x\u2082 = 18, pero el siguiente n\u00famero es un poco m\u00e1s dif\u00edcil de calcular, ya que x\u2083 = 11682, y sin calculadora requiere demasiado trabajo.<\/p>\n\n\n\n<p>Adem\u00e1s, el exponente de 5 que hay que calcular es el que divide, no a los t\u00e9rminos de la sucesi\u00f3n, si no a su cuadrado m\u00e1s 1. Para el primer t\u00e9rmino, el cuadrado m\u00e1s 1 es claramente 5, luego la potencia que lo divide es 5, mientras que para el segundo, el cuadrado m\u00e1s 1 es 325, al que lo divide la potencia 5\u00b2 pero no 5\u00b3, por lo que la mayor potencia que lo divide es 2.<\/p>\n\n\n\n<p>El tercer t\u00e9rmino probablemente sea complicado calcularlo a mano, ya que ser\u00eda 136 469 125, que es divisible por 5\u00b3 pero no por 5\u2074. Luego es 3, pero no es factible hacerlo sin apoyo t\u00e9cnico.<\/p>\n\n\n\n<p>La hip\u00f3tesis que podemos hacer al ver lo que pasa en los dos primeros t\u00e9rminos es que cada t\u00e9rmino de la sucesi\u00f3n aporta un factor a (x<sub>n<\/sub>)\u00b2 +1 que es divisible una vez por 5, con lo que la potencia que divide al n\u00famero pedido es 5\u00b2\u2070\u00b9\u2074, y no mayor.<\/p>\n\n\n\n<p>Y la forma adecuada de demostrarlo es la inducci\u00f3n, ya que tenemos probado que es cierto para n = 1 (e incluso para n = 2), y vamos a ver que, si es cierto para un valor n, tambi\u00e9n lo es para n + 1, ya que la secuencia se define por inducci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n<p>Supongamos entonces que la mayor potencia de 5 que divide a (x<sub>n<\/sub>)\u00b2 + 1 es n.<\/p>\n\n\n\n<p>Tratemos de estudiar c\u00f3mo construimos el t\u00e9rmino siguiente.<\/p>\n\n\n\n<p>El t\u00e9rmino de la sucesi\u00f3n se calcula con la primera f\u00f3rmula, es decir, 2(x<sub>n<\/sub>)\u00b3 + x<sub>n<\/sub>, que aparentemente no tiene nada que ver con la f\u00f3rmula que tenemos en la hip\u00f3tesis de inducci\u00f3n, pero el n\u00famero que tenemos que estudiar es su cuadrado m\u00e1s uno, es decir, 4(x<sub>n<\/sub>)\u2076 + 4(x<sub>n<\/sub>)\u2074 + (x<sub>n<\/sub>)\u00b2 + 1, que s\u00ed que tiene elementos muy similares. De hecho, ese n\u00famero lo podemos escribir como 4(x<sub>n<\/sub>)\u2074((x<sub>n<\/sub>)\u00b2 + 1) + (x<sub>n<\/sub>)\u00b2 + 1, es decir, que podemos escribirlo como (4(x<sub>n<\/sub>)\u2074 + 1)((x<sub>n<\/sub>)\u00b2 + 1) y por tanto es producto de dos n\u00fameros, y uno de ellos es exactamente del que sabemos una cosa: que es divisible por exactamente 5<sup>n<\/sup>, pero no por ning\u00fan 5 m\u00e1s.<\/p>\n\n\n\n<p>Basta, por tanto, ver que el otro factor, 4(x<sub>n<\/sub>)\u2074 + 1, es divisible una \u00fanica vez por 5, y no m\u00e1s.<\/p>\n\n\n\n<p>El reto es escribir ese n\u00famero en funci\u00f3n del que ya ten\u00edamos, (x<sub>n<\/sub>))\u00b2 + 1. Hay varias formas de hacerlo, una de ellas es multiplicar nuestro n\u00famero por 4(x<sub>n<\/sub>)\u00b2 y restarlo del objetivo, a ver cu\u00e1nto nos falta. Y el resultado es -4(x<sub>n<\/sub>)\u00b2 + 1. Si ahora multiplicamos nuestro n\u00famero por -4 y lo restamos del objetivo obtenemos\u2026 \u00a15!<\/p>\n\n\n\n<p>Y eso quiere decir que 4(x<sub>n<\/sub>)\u2074 + 1 = ((x<sub>n<\/sub>)\u00b2 + 1)(4(x<sub>n<\/sub>)\u00b2 \u2013 4) + 5. Por lo tanto es m\u00faltiplo de 5, pero no de 5\u00b2. Ya que el factor es al menos m\u00faltiplo dos veces de 5, y por tanto al sumarle un 5, no puede ser m\u00faltiplo m\u00e1s que una vez de 5.<\/p>\n\n\n\n<p>Sin embargo, el razonamiento podr\u00eda fallar en el paso de x\u2081 a x\u2082, ya que en el caso de n = 1 s\u00f3lo es m\u00faltiplo una vez de 5. Afortunadamente este caso se ha comprobado a mano, pero es claramente necesario hacerlo. Al menos, darse cuenta de que para el caso x\u2081 el valor es exactamente (2\u00b2 + 1)(4\u00b72\u00b2 &#8211; 4) = 60 + 5 = 65, con lo que claramente s\u00f3lo es m\u00faltiplo de 5, y no de 5\u00b2.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 4 de la Fase Nacional de la L Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola (2014) Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os La sucesi\u00f3n {xn} para n entero positivo, definida por x1 = 2 y xn + 1 = 2(xn)\u00b3 + xn para todo n mayor o igual que 1. 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