{"id":3478,"date":"2025-01-05T17:32:05","date_gmt":"2025-01-05T17:32:05","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=3478"},"modified":"2025-01-05T17:32:06","modified_gmt":"2025-01-05T17:32:06","slug":"ejemplo-de-induccion","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2025\/01\/05\/ejemplo-de-induccion\/","title":{"rendered":"Ejemplo de inducci\u00f3n"},"content":{"rendered":"\n

Voy a aprovechar que 2025 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)\u00b2 = 1\u00b3 + 2\u00b3 + 3\u00b3 + 4\u00b3 + 5\u00b3 + 6\u00b3 + 7\u2077 + 8\u00b3 + 9\u00b3 para estudiar esta propiedad a trav\u00e9s de uno de los m\u00e9todos de demostraci\u00f3n m\u00e1s sencillos de entender, el m\u00e9todo de la inducci\u00f3n completa.<\/p>\n\n\n\n

Demostraci\u00f3n de que (1 + 2 + \u2026 + n)\u00b2 = 1\u00b3 + 2\u00b3 + \u2026 + n\u00b3, mediante el m\u00e9todo de la inducci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n

    \n
  1. Probamos que es cierto en el caso n = 1 (podemos tambi\u00e9n probar alg\u00fan caso m\u00e1s):
    1\u00b2 = 1\u00b3
    (1 + 2)\u00b2 = 3\u00b2 = 9 = 1\u00b3 + 2\u00b3 = 1 + 8<\/li>\n\n\n\n
  2. Suponemos que es cierto hasta un determinado caso. En este caso, supondremos que es cierto hasta el t\u00e9rmino n -1 porque resulta m\u00e1s sencillo trabajar con ese supuesto, as\u00ed pues, supondremos que, para todo k menor que n se cumple (1 + 2 + \u2026 + k)\u00b2 = 1\u00b3 + 2\u00b3 + \u2026 + k\u00b3. En particular, para n – 1, tenemos que (1 + 2 + \u2026 + n – 1)\u00b2 = 1\u00b3 + 2\u00b3 + \u2026 + (n – 1)\u00b3.<\/li>\n\n\n\n
  3. Trataremos de probar que es cierto para n, tratando de aprovechar la hip\u00f3tesis de inducci\u00f3n vista en (2). (1 + 2 + \u2026 + n – 1 + n)\u00b2 = (1 + 2 + \u2026 + n – 1)\u00b2 + 2\u00b7(1 + 2 + \u2026 +\u00a0 n – 1)\u00b7n + n\u00b2 = 1\u00b3 + 2\u00b3 + \u2026 + (n – 1)\u00b3 + 2\u00b7(n – 1)\u00b7n\/2\u00b7n + n\u00b2 = 1\u00b3 + 2\u00b3 + \u2026 + (n – 1)\u00b3 + (n – 1)\u00b7n\u00b7n + n\u00b2 = 1\u00b3 + 2\u00b3 + \u2026 + (n – 1)\u00b3 + n\u00b3 – n\u00b2 + n\u00b2 = 1\u00b3 + 2\u00b3 + \u2026 + (n – 1)\u00b3 + n\u00b3, como quer\u00edamos demostrar.<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n

    En la cadena de igualdades se ha utilizado el cuadrado de la suma y la suma de una progresi\u00f3n aritm\u00e9tica de n – 1 t\u00e9rminos y diferencia 1.\u00a0Si el caso de hip\u00f3tesis de inducci\u00f3n hubiese sido el de n en lugar de n -1, el \u00fanico problema habr\u00eda sido que tal vez habr\u00edamos necesitado el desarrollo de (n + 1)\u00b3.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Voy a aprovechar que 2025 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)\u00b2 = 1\u00b3 + 2\u00b3 + 3\u00b3 + 4\u00b3 + 5\u00b3 + 6\u00b3 + 7\u2077 + 8\u00b3 + 9\u00b3 para estudiar esta propiedad a trav\u00e9s de uno de los m\u00e9todos de demostraci\u00f3n m\u00e1s […]<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[1738,2242029,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-3478","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiadas","category-ome","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3478","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3478"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3478\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3479,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3478\/revisions\/3479"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3478"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3478"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3478"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}