{"id":3488,"date":"2025-01-25T19:00:31","date_gmt":"2025-01-25T19:00:31","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=3488"},"modified":"2025-01-25T19:00:32","modified_gmt":"2025-01-25T19:00:32","slug":"solucion-a-una-parte-de-un-paralelogramo","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2025\/01\/25\/solucion-a-una-parte-de-un-paralelogramo\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a “Una parte de un paralelogramo”"},"content":{"rendered":"
\nProblema 1 del viernes de la Fase Local de la LXI Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas (2025)\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os\n<\/pre>\n\n\n
Sea ABCD un paralelogramo y sea M un punto en la diagonal BD que cumple M D = 2BM .<\/p>\n\n\n\n
Las rectas AM y BC se cortan en un punto N .<\/p>\n\n\n\n
\u00bfCu\u00e1l es el cociente entre el \u00e1rea del tri\u00e1ngulo M N D y el \u00e1rea del paralelogramo ABCD?<\/p>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
Soluci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
Primero vamos a ver que el punto N divide al lado BC en dos segmentos de la misma longitud.<\/p>\n\n\n\n
Puesto que M divide a la diagonal en dos partes, de forma que MB es la mitad de DM, marquemos las paralelas a los lados a un tercio de la distancia (podr\u00eda ser m\u00e1s evidente si se hacen las paralelas cada sexto del total).<\/p>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
Est\u00e1 claro que el segmento AN avanza en cada uno de los paralelogramos en que se subdivide la figura a raz\u00f3n de medio paralelogramo entre las paralelas a AB por cada uno de los que atraviesa entre las paralelas de DA, ya que tiene que pasar por M. Luego D est\u00e1 en el punto medio entre B y C.<\/p>\n\n\n\n
Una vez visto esto, razonemos el \u00e1rea que buscamos por tri\u00e1ngulos. Supongamos que tenemos el \u00e1rea completa del paralelogramo y es k.<\/p>\n\n\n\n
El \u00e1rea del tri\u00e1ngulo DBC supone medio paralelogramo y su valor es k\/2.<\/p>\n\n\n\n
El \u00e1rea del tri\u00e1ngulo DBN supone la mitad de DBC, ya que si usamos la base com\u00fan BC, tienen la misma altura y la mitad de base. Por tanto su \u00e1rea es k\/4.<\/p>\n\n\n\n
El \u00e1rea del tri\u00e1ngulo MBN supone la tercera parte de DBN, ya que tiene la misma base pero s\u00f3lo la tercera parte de altura, por lo que su \u00e1rea es k\/12.<\/p>\n\n\n\n
Por tanto, ya que DMN es DBN \u2013 MBN, su \u00e1rea es k\/4 \u2013 k\/12 = 2k\/12 = k\/6.<\/p>\n\n\n\n
Por lo que el cociente buscado es 1\/6.<\/p>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
Tambi\u00e9n se puede razonar que el tri\u00e1ngulo que buscamos es equivalente en \u00e1rea a 3 medios paralelogramos de los que hemos dibujado, con lo que su \u00e1rea representa 3\/2 frente a los 9 de todos el paralelogramo, por lo que el cociente ser\u00eda (3\/2)\/9 = 3\/18 = 1\/6.<\/p>\n\n\n\n
Otra forma de resolverlo ser\u00eda con coordenadas, aunque sale algo dif\u00edcil.<\/p>\n\n\n\n
Voy a poner el eje de coordenadas en D, y utilizar como unidad la sexta parte del lado de DC del paralelogramo (la he ido cambiando mientras redactaba la respuesta para que no me salgan fracciones). As\u00ed, D es (0,0) y C es (6, 0)<\/p>\n\n\n\n
Utilizo dos par\u00e1metros, s y t, que ser\u00e1n parte de las coordenadas de B, que se escribe (6s, 6t), y, para que sea un paralelogramo, A tiene que ser (6s \u2013 6, 6t). Evidentemente, su \u00e1rea es 6t\u00b76 = 36t unidades en estas coordenadas. Tratemos de calcular el punto M, el punto N, y el \u00e1rea del tri\u00e1ngulo DMN despu\u00e9s.<\/p>\n\n\n\n
El vector DN es (6s, 6t) y, por la propiedad de M, M = D +(2\/3)DN = (4s, 4t).<\/p>\n\n\n\n
Ahora voy a construir las rectas BC y AM para buscar el punto N, donde se cortan.<\/p>\n\n\n\n
Recta BC, con vector (6s \u2013 6, 6t) tendr\u00e1 una ecuaci\u00f3n parecida a tx + (1 \u2013 s)y = b, y pasar\u00e1 por (6, 0), luego ser\u00e1 tx + (1 \u2013 s)y = 6t.<\/p>\n\n\n\n
Recta AM, con vector (2s \u2013 6, 2t), tendr\u00e1 una ecuaci\u00f3n parecida a tx + (3 \u2013 s)y = b y pasar\u00e1 por (4s, 4t), por lo que ser\u00e1 tx + (3 \u2013 s)y = 4ts + 12t \u2013 4ts = 12t, es decir, tx + (3 \u2013 s)y = 12t.<\/p>\n\n\n\n
Ahora hay que ver d\u00f3nde se cortan. Restando ambas igualdades, se tiene que 2y = 6t, por lo que y = 3t. Substituyendo en la primera ecuaci\u00f3n , tenemos que tx = 3(s \u2013 1)t + 6t = 3st +3t.<\/p>\n\n\n\n
Por lo tanto, las coordenadas del punto N son (3(s + 1), 3t).<\/p>\n\n\n\n
Nos piden por tanto el \u00e1rea, que es f\u00e1cil calcularla dividiendo la figura en tri\u00e1ngulos y trapecios dentro de las coordenadas, usando los puntos auxiliares proyecci\u00f3n sobre el eje X, Mx y Nx.<\/p>\n\n\n\n
Area de DMMx ser\u00eda 8st mediante el \u00e1rea del tri\u00e1ngulo.<\/p>\n\n\n\n
\u00c1rea del trapecio MxMNNx ser\u00eda, operando, (7\/2)t(3 \u2013 s)<\/p>\n\n\n\n
\u00c1rea del tri\u00e1ngulo DNNx ser\u00eda (9\/2)(t(s +1)).<\/p>\n\n\n\n
Si sumamos las dos primeras con un poco de cuidado, y restamos la segunda, tenemos el \u00e1rea del tri\u00e1ngulo, que ser\u00eda 6t.<\/p>\n\n\n\n
Por tanto, el tri\u00e1ngulo buscado es la sexta parte del total, que es lo que nos pregunta el problema.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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