{"id":3497,"date":"2025-02-01T18:45:23","date_gmt":"2025-02-01T18:45:23","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=3497"},"modified":"2025-02-01T18:45:24","modified_gmt":"2025-02-01T18:45:24","slug":"solucion-a-un-polinomio-que-pasa-por-muchos-puntos","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2025\/02\/01\/solucion-a-un-polinomio-que-pasa-por-muchos-puntos\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a \u00abUn polinomio que pasa por muchos puntos\u00bb"},"content":{"rendered":"<pre>\nProblema 2 del viernes de la Fase Local de la LXI Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas (2025)\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os\n<\/pre>\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Sea q(x) un polinomio de grado 2023 que cumple que q(n) = 1\/n para todo n = 1, 2, . . . , 2024.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Halla el valor q(2025).<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"300\" height=\"300\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2025\/01\/371.Polinomio.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3494\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Soluci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n<!--more-->\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">El primer impulso cuando se ve un problema de este tipo es usar un polinomio interpolador, para que pase por todos esos puntos de la forma (n, 1\/n) y evaluarlo, pero no es un sistema muy eficiente.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Seguramente funcionar\u00eda, pero ser\u00eda muy costoso.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Si tratamos de hacerlo para dos o tres puntos los resultados son bastante diferentes, y no ofrecen muchas pistas.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Sin embargo, si fijamos la atenci\u00f3n en la igualdad que tenemos que cumplir, puede ser mucho m\u00e1s interesante. Puesto que q(x) = 1\/x no es una igualdad entre polinomios, podemos multiplicar por x y tener x\u00b7q(x) = 1, o bien x\u00b7q(x) \u2013 1 = 0.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">La primera parte es un polinomio real y el valor de 0 debe obtenerse en nada menos que 2024 valores. Eso s\u00ed, el polinomio es de grado 2024, ya que hemos multiplicado por x uno de grado 2023, as\u00ed que podemos saber exactamente las ra\u00edces que va a tener, que ser\u00e1n x = 1, 2, \u2026 , 2024.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Por lo tanto este polinomio ser\u00e1 de la forma k(x \u2013 1)(x \u2013 2) \u2026 (x \u2013 2024) para un cierto valor de k.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">\u00bfC\u00f3mo podemos calcular el valor de k? Usando el \u00fanico valor que podemos darle a la expresi\u00f3n, adem\u00e1s de los que hemos usado para las ra\u00edces, y que sabemos qu\u00e9 va a dar, que es x = 0.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">En efecto, si x = 0, la expresi\u00f3n x\u00b7q(x) \u2013 1 da -1, y la expresi\u00f3n k(x \u2013 1)(x \u2013 2) \u2026 (x \u2013 2024) da k\u00b7(2024!), ya que multiplicaremos todos los n\u00fameros enteros entre el -1 y el -2024, y el signo ser\u00e1 positivo pues hay una cantidad par.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Por lo tanto, k = 1\/(2024!), y por tanto tenemos un polinomio que no es el que buscamos, pero s\u00ed que lo contiene: x\u00b7q(x) \u2013 1 = -(x \u2013 1)(x \u2013 2) \u2026 (x \u2013 2024)\/(2024!).<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Ahora, si sustituimos x por 2025, tendremos que 2025\u00b7q(2025) \u2013 1 = -1, ya que la expresi\u00f3n de la multiplicaci\u00f3n volver\u00e1 a multiplicar los n\u00fameros (esta vez en positivo) del 1 al 2024.<\/p>\n\n\n\n<p class=\"wp-block-paragraph\">Por tanto, tenemos que 2025\u00b7q(2025) = 0, luego q(2025) = 0, que es lo que nos pide el problema.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 2 del viernes de la Fase Local de la LXI Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas (2025) Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Sea q(x) un polinomio de grado 2023 que cumple que q(n) = 1\/n para todo n = 1, 2, . . . , 2024. 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