{"id":3513,"date":"2025-02-15T07:14:51","date_gmt":"2025-02-15T07:14:51","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=3513"},"modified":"2025-02-15T07:14:52","modified_gmt":"2025-02-15T07:14:52","slug":"solucion-a-divisores-que-suman-1001","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2025\/02\/15\/solucion-a-divisores-que-suman-1001\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a &#8220;Divisores que suman 1001&#8221;"},"content":{"rendered":"<pre>Problema 4 del viernes de la Fase Local de la LXI Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas (2025)\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os\n<\/pre>\n\n\n<p>Determina el menor entero positivo n que tiene al menos 4 divisores diferentes a, b, c, y d, que son mayores que 1 y menores que n, de forma que a + b + c + d = 1001.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" width=\"300\" height=\"300\" src=\"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/files\/2025\/02\/373.Divisores.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-3511\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Soluci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n<!--more-->\n\n\n\n<p>He buscado otras aproximaciones, pero la \u00fanica que he encontrado es buscar los cuatro factores x, y, z, t que hacen que n = xa = yb = zc = td.<\/p>\n\n\n\n<p>Puesto que estos n\u00fameros est\u00e1n entre 1 y n, los factores correspondientes ser\u00e1n al menos 2, 3, 4 y 5.<\/p>\n\n\n\n<p>Es posible transformar por tanto a + b + c + d = 1001 en n\/x + n\/y + n\/z + n\/t = 1001, por lo que 1001\/n = 1\/x + 1\/y +1\/z + 1\/t que siempre ser\u00e1 menor o igual que \u00bd + \u2153 + \u00bc + 1\/5 = 30\/60 + 20\/60 + 15\/60 + 12\/60 = 77\/60.<\/p>\n\n\n\n<p>Por lo tanto, 1001\/n es menor o igual que 77\/60, y puesto que 1001 es divisible por 77, tenemos que 13\/n es menor que 1\/60. Se ah\u00ed, tenemos que 13\u00b760 es menor o igual que n, y ese n\u00famero es 780.<\/p>\n\n\n\n<p>Podemos tratar de lograr esa suma con 780, y tendremos \u00e9xito, ya que 1001\/780 es exactamente igual que 77\/60, y as\u00ed tendremos que 1001\/780 = \u00bd + \u2153 + \u00bc + 1\/5, y por tanto 1001 = 360 + 260 + 195 + 156. Si no hubiese sido as\u00ed, habr\u00edamos tenido que tantear con fracciones algo menores (valores de n algo mayores), y se habr\u00eda vuelto un tanteo algo m\u00e1s tedioso.<\/p>\n\n\n\n<p>Por tanto, podemos afirmar que 780 es el menor valor de n para el que sucede esto.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema 4 del viernes de la Fase Local de la LXI Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas (2025) Se dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os Determina el menor entero positivo n que tiene al menos 4 divisores diferentes a, b, c, y d, que son mayores que 1 y menores que n, de forma que a [&hellip;]<\/p>\n","protected":false},"author":4267,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[2242021,1738,2242029,2849,3303],"tags":[],"class_list":["post-3513","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-olimpiada-matematica-espanola","category-olimpiadas","category-ome","category-problemas","category-soluciones"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3513","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/users\/4267"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=3513"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3513\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":3515,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/3513\/revisions\/3515"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=3513"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=3513"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=3513"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}