{"id":3521,"date":"2025-02-22T18:06:21","date_gmt":"2025-02-22T18:06:21","guid":{"rendered":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/?p=3521"},"modified":"2025-02-22T18:09:50","modified_gmt":"2025-02-22T18:09:50","slug":"solucion-a-coincidencia-en-un-cuadrilatero","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/blogs.ua.es\/dimates\/2025\/02\/22\/solucion-a-coincidencia-en-un-cuadrilatero\/","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n a \u00abCoincidencia en un cuadril\u00e1tero\u00bb"},"content":{"rendered":"
\nProblema 5 del viernes de la Fase Local de la LXI Olimpiada Espa\u00f1ola de Matem\u00e1ticas (2025)\nSe dirige a una edad de: 16-17 a\u00f1os\n<\/pre>\n\n\n
Sea ABCD un cuadril\u00e1tero convexo de forma que AB\u2229CD = F y AD\u2229BC = E.<\/p>\n\n\n\n
Demuestra que los circunc\u00edrculos de los tri\u00e1ngulos BFC, AFD, DCE y ABE tienen un punto en com\u00fan.<\/p>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
Soluci\u00f3n:<\/p>\n\n\n\n\n\n\n\n
En un primer momento, debemos dibujar la figura, teniendo en cuenta que los v\u00e9rtices del cuadril\u00e1tero est\u00e1n nombrados de forma consecutiva en sentido de las agujas del reloj, o al contrario.<\/p>\n\n\n\n
Ning\u00fan lado puede ser paralelo al otro, puesto que deben cortarse (la intersecci\u00f3n).<\/p>\n\n\n\n
Una vez hecho esto, observamos que sucede lo que debemos mostrar, que tienen un punto en com\u00fan, pero \u00bfqu\u00e9 tiene de peculiar ese punto?<\/p>\n\n\n\n
Para profundizar en esto es conveniente conocer el principio del \u00e1ngulo central, que nos permite mover un \u00e1ngulo por un arco de circunferencia, y que en el arco suma 180\u00ba con el de su arco opuesto. Esto nos lleva a la situaci\u00f3n de que un cuadril\u00e1tero est\u00e1 inscrito en una circunferencia s\u00ed y s\u00f3lo si dos de sus \u00e1ngulos opuestos suman 180\u00ba.<\/p>\n\n\n\n
Si dibujamos s\u00f3lo los c\u00edrculos m\u00e1s peque\u00f1os, en este caso, BFC y ABE, est\u00e1 claro que deben cortarse en alg\u00fan punto, y por tanto este punto pertenece a ambos c\u00edrculos, y forma dos cuadril\u00e1teros que est\u00e1n inscritos cada uno en un c\u00edrculo. Si llamamos G a este punto, hay muchas coincidencias entre sus \u00e1ngulos, y vamos a tratar de aprovechar eso.<\/p>\n\n\n\n
El \u00e1ngulo BGC es el mismo que el BEC por pertenecer al c\u00edrculo com\u00fan y estar en el mismo arco, y el \u00e1ngulo EGB es 180\u00ba \u2013 BAE, por la misma raz\u00f3n, al estar en arcos opuestos.<\/p>\n\n\n\n
Pero como la recta AD es la misma que la recta AE, resulta, que el \u00e1ngulo DAB es el mismo que EGB.<\/p>\n\n\n\n
Pero claro, eso quiere decir que BGC y BGE suman lo mismo que DAF (que es igual que DAB) y BFC (que es igual que AFD), y estos \u00e1ngulos est\u00e1n en el mismo tri\u00e1ngulo AFD.<\/p>\n\n\n\n
Por tanto, los tres \u00e1ngulos del tri\u00e1ngulo suman 180\u00ba, es decir, que el \u00e1ngulo EDF suma 180\u00ba con EGC.<\/p>\n\n\n\n
Y eso significa que el cuadril\u00e1tero CDEG tambi\u00e9n est\u00e1 inscrito en una circunferencia, por tanto el punto G pertenece a la circunferencia CDE.<\/p>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
De manera sim\u00e9trica, podemos razonar que pertenece a la circunferencia DAF, por sumar AGF 180 grados con EDA, al ser suma de los \u00e1ngulos AGB y FGB.<\/p>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n
Y, por tanto, el punto G pertenece a los cuatro c\u00edrculos, como quer\u00edamos ver.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
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